(Sở Vĩnh Phúc 2025) Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ biết $A(1; -1; 2)$, $B(-2; 0; 3)$, $C(0; 1; -2)$. Gọi $M(a; b; c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $Oxy$ sao cho biểu thức $S = \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} + 4\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $T = 16a + 16b + 3c$.

Lời giải Với mọi điểm $I$ bất kì, ta có: $$ S = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) + 3(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) \cdot (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC}) + 4(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC}) \cdot (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) $$ $$ = 8MI^2 + \overrightarrow{MI} \cdot (5\overrightarrow{IA} + 4\overrightarrow{IB} + 7\overrightarrow{IC}) + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} + 4\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IC} $$ Chọn điểm $I$ sao cho: $5\overrightarrow{IA} + 4\overrightarrow{IB} + 7\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$. Gọi $I(x; y; z)$, ta có hệ phương trình: $$ \begin{cases} 5(1 - x) + 4(-2 - x) + 7(0 - x) = 0 \\ 5(-1 - y) + 4(0 - y) + 7(1 - y) = 0 \\ 5(2 - z) + 4(3 - z) + 7(-2 - z) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -\frac{3}{16} \\ y = \frac{1}{8} \\ z = \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow I\left(-\frac{3}{16}; \frac{1}{8}; \frac{1}{2}\right)$$ Khi đó: $$ S = 8MI^2 + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} + 4\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IC} $$ $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ nhỏ nhất. Khi đó $M$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $Oxy$. Suy ra: $M\left(-\frac{3}{16}; \frac{1}{8}; 0\right) \Rightarrow T = 16\left(-\frac{3}{16}\right) + 16 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot 0 = -1$.