Trong hệ tọa độ $ Oxyz $, cho các điểm $ A\left ( { 5;\,3;\,4 } \right ),\,B\left ( { 1;\,2;\,1 } \right ),\,C\left ( { 8;\,-3;\,2 } \right ) $. Gọi $ D\left ( { a;\,b;\,c } \right ) $ là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh $ A $ của tam giác $ ABC $.

a) Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác, ta có $ G\left ( { \frac { 5+1+8 } { 3 };\,\frac { 3+2+\left ( { -3 } \right ) } { 3 };\,\frac { 4+1+2 } { 3 } } \right )⇒G\left ( { \frac { 14 } { 3 };\,\frac { 2 } { 3 };\,\frac { 7 } { 3 } } \right ) $. Suy ra đúng. b) Ta có $ BC=\left | { \overset\rightarrow { BC } } \right |=\sqrt[] { \left ( { 8-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -3-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2-1 } \right ) ^ { 2 } }=5\sqrt[] { 3 } $. Suy ra sai. c) Ta có $ \overset\rightarrow { AB }\left ( { -4;\,-1;\,-3 } \right ),\,\overset\rightarrow { AC }\left ( { 3;\,-6;\,-2 } \right ),\,\overset\rightarrow { BC }\left ( { 7;\,-5;\,1 } \right ) $ và $ \overset\rightarrow { AB }.\,\overset\rightarrow { AC }=\left ( { -4 } \right ).3+\left ( { -6 } \right ).\left ( { -1 } \right )+\left ( { -3 } \right ).\left ( { -2 } \right )=0 $ nên tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $. Suy ra đúng. d) Ta có $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$, theo tính chất đường phân giác trong: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$. Ta có $AB=\sqrt{(5-1)^2+(3-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{26}$, $AC=\sqrt{(5-8)^2+(3+3)^2+(4-2)^2}=\sqrt{49}=7$. Do đó $D$ chia đoạn $BC$ theo tỉ số $\frac{DB}{DC}=\frac{\sqrt{26}}{7}$, một số vô tỉ, nên tọa độ $D(a;b;c)$ (và do đó $a+2b+3c$) là các số vô tỉ, không phải số nguyên. Suy ra sai.