(THPT Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh 2025) Trong không gian với hệ toạ độ $ Oxyz $ cho hai điểm $ A(2;\,3;\,4) $ và $ B(1;\,1;\,2) $. Giả sử điểm $ M(m;\,n;\,0) $thuộc mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $ sao cho tổng khoảng cách $ MA\,+\,MB $ngắn nhất. Tính $ T=2m\,-\,n $

Ta thấy hai điểm$ A;\,B $ nằm cùng phía so với mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $. Lấy điểm$ A'\, $đối xứng với điểm $ A $ qua mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $thì $ A'(2;\,3;\,-4) $và $ MA\,=\,MA' $. Khi đó $ MA\,+\,MB=MA'\,+\,MB\geq A'B $. Tổng khoảng cách $ MA\,+\,MB $ngắn nhất bằng $ A'\,B $. Dấu “=” xảy ra $ ⇔M,A',B $ thẳng hàng hay $ M $ là giao của $ A'B $với mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $. Mà $ \frac { MA' } { MB }=\frac { d\left ( { A',\left ( { Oxy } \right ) } \right ) } { d\left ( { B,\left ( { Oxy } \right ) } \right ) }=\frac { 4 } { 2 }=2 $ nên $ \overset\rightarrow { A'M }=2\overset\rightarrow { MB }⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ M } -2=2\left ( { 1-x_{ M } } \right ) \\ y_{ M } -3=2\left ( { 1-y_{ M } } \right ) \\ z_{ M } +4=2\left ( { 2-z_{ M } } \right ) \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ M } =\frac { 4 } { 3 } \\ y_{ M } =\frac { 5 } { 3 } \\ z_{ M } =0 \end{array} \right. $. Suy ra $ M\left ( { \frac { 4 } { 3 };\,\frac { 5 } { 3 };\,0 } \right ) $ Vậy $ T=2m\,-\,n=2.\frac { 4 } { 3 }-\frac { 5 } { 3 }=1 $.