(THPT Cụm trường Hải Dương 2025) Trong không gian với hệ toạ độ $ Oxyz $ cho tam giác $ ABC $ có các đỉnh $ A\left ( { 1;-2;0 } \right ),B\left ( { 2;1;-2 } \right ),C\left ( { 0;3;4 } \right ) $.

a) Toạ độ của véc-tơ $ \overset\rightarrow { AB } $ là $ \left ( { 1;3;-2 } \right ) $. Chọn a) ĐÚNG b) Toạ độ hình chiếu của điểm $ B $trên mặt phẳng $ Oxy $ là $ H\left ( { 2;1;0 } \right ) $. Chọn b) SAI c) Gọi điểm $ E\left ( { a;b;c } \right ) $ là hình chiếu của $ C $ lên $ AB $, Ta có $ \overset\rightarrow { CE }=\left ( { a;b-3;c-4 } \right ),\overset\rightarrow { AE }=\left ( { a-1;b+2;c } \right ),\overset\rightarrow { AB }=\left ( { 1;3;-2 } \right ) $. Vì $ CE⊥AB $ và vectơ $ \overset\rightarrow { AE },\overset\rightarrow { AB } $ cùng phương nên $ \left \{ \begin{array}{l} a+3\left ( { b-3 } \right )-2\left ( { c-4 } \right )=0 \\ \frac { a-1 } { 1 }=\frac { b+2 } { 3 }=\frac { c } { -2 } \end{array} \right. $ $ ⇒\left \{ \begin{array}{l} a+3b-2c=1 \\ 3a-b=5 \\ -2a-c=-2 \end{array} \right.⇒\left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 10 } { 7 } \\ b=\frac { -5 } { 7 } \\ c=-\frac { 6 } { 7 } \end{array} \right.⇒7a+3b+c=7 $. Chọn c) SAI d) Điểm $ M $ thuộc mặt phẳng $ xOz $ suy ra $M(x;0;z)$. Vì $B(2;1;-2)$ và $C(0;3;4)$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng $xOz$ nên gọi $B'$ là điểm đối xứng của $B$ qua mặt phẳng $xOz$, ta có $B'(2;-1;-2)$ và $MB=MB'$. Khi đó $T=MC+MB=MC+MB'\ge B'C$, dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của đoạn $B'C$ với mặt phẳng $xOz$. Đường thẳng $B'C$ có vectơ chỉ phương $\overset\rightarrow{B'C}=(-2;4;6)$, phương trình tham số qua $B'(2;-1;-2)$: $\begin{cases}x=2-2t\\y=-1+4t\\z=-2+6t\end{cases}$. Cho $y=0$ ta có $t=\frac{1}{4}$, suy ra $x=\frac{3}{2}$, $z=-\frac{1}{2}$. Vậy $M\left(\frac{3}{2};0;-\frac{1}{2}\right)$.