Trả lời ngắn · Câu 11
Cho hai véc-tơ $ \overset\rightarrow { a } $ và $ \overset\rightarrow { b } $ thỏa mãn các điều kiện $ \left | { \overset\rightarrow { a } } \right |=\frac { 1 } { 2 }\left | { \overset\rightarrow { b } } \right |=1 $, $ \left | { \overset\rightarrow { a }-2\overset\rightarrow { b } } \right |=\sqrt[] { 15 } $. Đặt $ \overset\rightarrow { u }=\overset\rightarrow { a }+\overset\rightarrow { b } $ và $ \overset\rightarrow { v }=2k\overset\rightarrow { a }-\overset\rightarrow { b } $, $ k\in \mathbb{R} $. Với $ k=a+\frac { b\sqrt[] { c } } { d } $ thì $ \left ( { \overset\rightarrow { u };\overset\rightarrow { v } } \right )=60° $. Tính $ T=a-b+c+d $?
Xem đáp án và lời giải
Đáp án chấp nhận
- 8
Lời giải
Ta có:$ \left | { \overset\rightarrow { a } } \right |=\frac { 1 } { 2 }\left | { \overset\rightarrow { b } } \right |=1 \left | { \overset\rightarrow { a } } \right |=1;\left | { \overset\rightarrow { b } } \right |=2 $.
$ 15=\left | { \overset\rightarrow { a }-2\overset\rightarrow { b } } \right | ^ { 2 } =\overset\rightarrow { a } ^ { 2 } -4\overset\rightarrow { a }\overset\rightarrow { b }+4\overset\rightarrow { b } ^ { 2 } ⇒\overset\rightarrow { a }\overset\rightarrow { b }=\frac { \overset\rightarrow { a } ^ { 2 } +4\overset\rightarrow { b } ^ { 2 } -15 } { 4 }=\frac { 1+4×4-15 } { 4 }=\frac { 1 } { 2 } $.
$ \left | { \overset\rightarrow { u } } \right |=\sqrt[] { \left ( { \overset\rightarrow { a }+\overset\rightarrow { b } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { \overset\rightarrow { a } ^ { 2 } +2\overset\rightarrow { a }\overset\rightarrow { b }+\overset\rightarrow { b } ^ { 2 } }=\sqrt[] { 1 ^ { 2 } +2.\frac { 1 } { 2 }+2 ^ { 2 } }=\sqrt[] { 6 } $.
$ \left | { \overset\rightarrow { v } } \right |=\sqrt[] { \left ( { 2k\overset\rightarrow { a }-\overset\rightarrow { b } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 4k ^ { 2 } \overset\rightarrow { a } ^ { 2 } -4k\overset\rightarrow { a }\overset\rightarrow { b }+\overset\rightarrow { b } ^ { 2 } }=\sqrt[] { 4k ^ { 2 } 1 ^ { 2 } -4k\frac { 1 } { 2 }+2 ^ { 2 } }=\sqrt[] { 4k ^ { 2 } -2k+4 } $
$ cos60°=cos\left ( { \overset\rightarrow { u };\overset\rightarrow { v } } \right ) $$ ⇔\frac { 1 } { 2 }=\frac { \overset\rightarrow { u }.\overset\rightarrow { v } } { \left | { \overset\rightarrow { u } } \right |\left | { \overset\rightarrow { v } } \right | } $$ ⇔\frac { 1 } { 2 }=\frac { 2k\overset\rightarrow { a } ^ { 2 } -\overset\rightarrow { a }\overset\rightarrow { b }+2k\overset\rightarrow { a }\overset\rightarrow { b }-\overset\rightarrow { b } ^ { 2 } } { \sqrt[] { 6 }\sqrt[] { 4k ^ { 2 } -2k+4 } } $
$ ⇔\frac { 1 } { 2 }=\frac { 2k-\frac { 1 } { 2 }+2k\frac { 1 } { 2 }-2 ^ { 2 } } { 2\sqrt[] { 3 }\sqrt[] { 2k ^ { 2 } -k+2 } } $
$ ⇔2\sqrt[] { 3 }\sqrt[] { 2k ^ { 2 } -k+2 }=6k-9 $
$ ⇔\left \{ \begin{array}{l} k\geq \frac { 3 } { 2 } \\ 4k ^ { 2 } -32k+19=0 \end{array} \right. $$ ⇒k=\frac { 8+3\sqrt[] { 5 } } { 2 }=4+\frac { 3\sqrt[] { 5 } } { 2 } $.
Suy ra: $ a=4 $, $ b=3 $, $ c=5 $, $ d=2 $.
Vậy $ T=a-b+c+d=4-3+5+2=8 $.