Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho hai điểm $ A\left ( { 1;2;3 } \right ) $, $ B\left ( { 7;10;6 } \right ) $. Hai điểm $ M $, $ N $ thay đổi trên mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $ sao cho $ MN=4 $. Khi $ AM+BN $ nhỏ nhất, tính tổng hoành độ của $ M $ và tung độ của $ N $.

Gọi $ C $, $ D $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ A $, $ B $ trên mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $. Suy ra tọa độ $ C\left ( { 1;2;0 } \right ) $, $ D\left ( { 7;10;0 } \right ) $. Khi đó $ CD=\sqrt[] { \left ( { 7-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 10-2 } \right ) ^ { 2 } +0 ^ { 2 } }=10 $ Ta có $ AM+BN=\sqrt[] { AC ^ { 2 } +CM ^ { 2 } }+\sqrt[] { BD ^ { 2 } +DN ^ { 2 } }=\sqrt[] { 9+CM ^ { 2 } }+\sqrt[] { 36+DN ^ { 2 } } $. Khi đó $ AM+BN $ nhỏ nhất khi $ C $, $ M $, $ N $, $ D $ thẳng hàng. Đặt $ CM=x $ với $ 0 < x < 6 $. Suy ra $ ND=6-x $. Ta có $ AM+BN=\sqrt[] { 9+x ^ { 2 } }+\sqrt[] { x ^ { 2 } -12x+72 } $. Xét hàm số $ f\left ( { x } \right )=\sqrt[] { 9+x ^ { 2 } }+\sqrt[] { x ^ { 2 } -12x+72 } $ với $ 0 < x < 6 $. Ta có $ f'\left ( { x } \right )=\frac { x } { \sqrt[] { 9+x ^ { 2 } } }+\frac { x-6 } { \sqrt[] { x ^ { 2 } -12x+72 } } $. Khi đó $ f'\left ( { x } \right )=0⇔\frac { x } { \sqrt[] { 9+x ^ { 2 } } }+\frac { x-6 } { \sqrt[] { x ^ { 2 } -12x+72 } }=0⇔x=2 $. Bảng biến thiên Vậy $ \min\left ( { AM+BN } \right )=3\sqrt[] { 13 } $ khi $ CM=x=2 $. Khi đó $ \overset\rightarrow { CM }=\frac { 1 } { 5 }\overset\rightarrow { CD } $. Suy ra $ x_{ M } =x_{ C } +\frac { 1 } { 5 }\left ( { x_{ D } -x_{ C } } \right )=\frac { 11 } { 5 } $. Mặt khác $ \overset\rightarrow { CN }=\frac { 3 } { 5 }\overset\rightarrow { CD } $. Suy ra $ y_{ N } =y_{ C } +\frac { 3 } { 5 }\left ( { y_{ D } -y_{ C } } \right )=\frac { 34 } { 5 } $. Vậy tổng hoành độ của $ M $ và tung độ của $ N $ là $ x_{ M } +y_{ N } =\frac { 11 } { 5 }+\frac { 34 } { 5 }=9 $.