Cho tam giác $ABC$ có $A(3; 2)$, $B(1; -1)$, $C(7; -4)$.

a) Sai. Gọi $H(x; y)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên cạnh $BC$. Ta có: $\overrightarrow{AH} = (x - 3; y - 2)$, $\overrightarrow{BC} = (6; -3)$, $\overrightarrow{BH} = (x - 1; y + 1)$. Ta có: $\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \Leftrightarrow 6(x - 3) - 3(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 4 = 0$. Vì $\overrightarrow{BH}, \overrightarrow{BC}$ cùng phương nên $\frac{x - 1}{6} = \frac{y + 1}{-3} \Leftrightarrow x + 2y + 1 = 0$. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2x - y - 4 = 0\\\\ x + 2y + 1 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = \frac{7}{5}\\\\ y = -\frac{6}{5}\end{array}\right. \Rightarrow H\left(\frac{7}{5}; -\frac{6}{5}\right)$. b) Sai. Gọi $E(x; y)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Khi đó: $EA = EB = EC \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}EA^2 = EB^2\\\\ EA^2 = EC^2\end{array}\right. \quad (1)$. Ta có $\overrightarrow{AE} = (x-3; y-2); \overrightarrow{BE} = (x-1; y+1); \overrightarrow{CE} = (x-7; y+4)$. Khi đó: $(1) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x-3)^2+(y-2)^2 = (x-1)^2+(y+1)^2\\\\ (x-3)^2+(y-2)^2 = (x-7)^2+(y+4)^2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-4x-6y+11=0\\\\ 8x-12y-52=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{37}{8}\\\\ y=-\frac{5}{4}\end{array}\right.$. c) Đúng. Giả sử $D(x; y)$ là chân đường phân giác trong kẻ từ $A$ đến cạnh $BC$ của tam giác $ABC$. Ta có: $AC = \sqrt{(7-3)^2+(-4-2)^2} = 2\sqrt{13}; AB = \sqrt{(1-3)^2+(-1-2)^2} = \sqrt{13}$. Theo tính chất đường phân giác, ta có: $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2\overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{DC} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2(1-x) = -(7-x)\\\\ 2(-1-y) = -(-4-y)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=3\\\\ y=-2\end{array}\right.$. Vậy $D = (3; -2) \Rightarrow a=3, b=-2 \Rightarrow 2a-3b=12$. d) Đúng. Ta có: $M \in Ox$ và $M \neq O$ nên $M(m; 0)$ $(m>0)$, $N \in Oy$ và $N \neq O$ nên $N(0; n)$ $(n>0)$. $S_{\Delta OMN} = \frac{1}{2}.OM.ON = \frac{1}{2}.|m|.|n| = \frac{1}{2}mn$. Ta có: $\overrightarrow{AM} = (m-3; -2), \overrightarrow{AN} = (-3; n-2)$. $\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AN}$ cùng phương nên $\frac{m-3}{-3} = \frac{-2}{n-2} \Leftrightarrow mn-2m-3n+6=6 \Leftrightarrow mn=2m+3n \Leftrightarrow 1=\frac{3}{m}+\frac{2}{n}$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $1=\frac{3}{m}+\frac{2}{n} \geq 2\sqrt{\frac{6}{mn}} = 2\sqrt{\frac{3}{S_{\Delta OMN}}}$ $\Rightarrow S_{\Delta OMN} \geq 12$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \frac{3}{m}=\frac{2}{n}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m=6\\\\ n=4\end{array}\right. \Rightarrow M(6; 0), N(0; 4)$. Vậy $minS_{\Delta OMN} = 12$.