Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ có cạnh bên bằng $ 6 $ và góc $ \widehat { BAC }=120° $. Điểm $ M $ thuộc cạnh $ AB $ sao cho $ AM=\frac { 1 } { 3 }AB $ và điểm $ N $ là trung điểm của cạnh $ AC $. Xét tính đúng/ sai của các mệnh đề sau:

a) S. Dựng $ D $ sao cho $ \overset\rightarrow { CA }=\overset\rightarrow { AD } $, khi đó $ \left ( { \overset\rightarrow { CA },\overset\rightarrow { AB } } \right )=\left ( { \overset\rightarrow { AD },\overset\rightarrow { AB } } \right )= \widehat { DAB }=60 ^ { 0 } $ b) S. Ta có: $ \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AC }=AB.AC.\cos120°=6.6.\left ( { -\frac { 1 } { 2 } } \right )=-18 $. $ \overset\rightarrow { BN }=\overset\rightarrow { AN }-\overset\rightarrow { AB }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB } $; $ \overset\rightarrow { CM }=\overset\rightarrow { AM }-\overset\rightarrow { AC }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { AC } $. Vậy $ \overset\rightarrow { BN }.\overset\rightarrow { CM }=\left ( { \frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB } } \right ).\left ( { \frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { AC } } \right )=\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { AC }.\overset\rightarrow { AB }-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC } ^ { 2 } -\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } +\overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AC } $. $ \overset\rightarrow { BN }.\overset\rightarrow { CM }=\frac { 7 } { 6 }.\left ( { -18 } \right )-\frac { 1 } { 2 }.6 ^ { 2 } -\frac { 1 } { 3 }.6 ^ { 2 } =-51 $. c) Đ. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { AH }=\left ( { a-5;b-3 } \right );\overset\rightarrow { BC }=\left ( { -3;6 } \right ) \\ \overset\rightarrow { BH }=\left ( { a-2;b+1 } \right );\overset\rightarrow { AC }=\left ( { -6;2 } \right ) \end{array} \right. $ Do $ H\left ( { a;b } \right ) $ là trực tâm của tam giác $ ABC $ nên ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { AH }.\overset\rightarrow { BC }=0 \\ \overset\rightarrow { BH }.\overset\rightarrow { AC }=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} -3\left ( { a-5 } \right )+6\left ( { b-3 } \right )=0 \\ -6\left ( { a-2 } \right )+2\left ( { b+1 } \right )=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=3 \\ b=2 \end{array} \right.⇒a+b=5 $. d) S. Vật đứng yên nên ba lực đã cho cân bằng. Ta được $ \overset\rightarrow { F_{ 3 } }=-\left ( { \overset\rightarrow { F_{ 1 } }+\overset\rightarrow { F_{ 2 } } } \right ) $. Dựng hình bình hành $ ABEC $. Ta có $ \overset\rightarrow { F_{ 1 } }+\overset\rightarrow { F_{ 2 } }=\overset\rightarrow { AE } $. Suy ra $ \left | { \overset\rightarrow { F_{ 3 } } } \right |=\left | { -\overset\rightarrow { AE } } \right |=AE=50N $ vì tam giác $ ABE $ là tam giác đều.