Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$; $I$ là trung điểm $OC$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $I$ và $(\alpha)$ song song với $BD, SC$; $(\alpha)$ cắt $(SBC), (SAC)$ lần lượt theo các đoạn giao tuyến $MR, IQ$. Biết $\frac{MR}{IQ} = \frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $a+b$?

Lời giải Trong mặt phẳng $(SAC)$, qua $I$ kẻ $IQ \parallel SC$ ($Q \in SA$). Trong mặt phẳng $(ABCD)$, qua $I$ kẻ $MN \parallel BD$ ($M \in BC, N \in CD$). Trong mặt phẳng $(SBC)$, qua $M$ kẻ $MR \parallel SC$ ($R \in SB$). Ta có: $$ \frac{MR}{SC} = \frac{BM}{BC} = \frac{BI}{BD} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{IQ}{SC} = \frac{AI}{AC} = \frac{3}{4} $$ Suy ra tỉ số: $$ \frac{MR}{IQ} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3} $$ Vì $\frac{2}{3}$ là phân số tối giản nên $a = 2, b = 3$. Vậy $a + b = 2 + 3 = 5$.