Một nắp bể nước hình chữ nhật $ ABCD $ nằm cạnh bờ tường có kích thước $ 9{ \rm{ dm } }×12{ \rm{ dm } } $ được kéo dài ra từ mặt sàn, do tác dụng của trọng lực nên nắp bể không thể mở ra được nếu không có người giữ. Người ta dùng một sợi dây xích dài 15 dm và kéo căng nối đỉnh $ C $ của hình chữ nhật với điểm $ M $ nằm phía trên bờ tường sao cho $ AM=9{ \rm{ dm } } $ và $ AM $ vuông góc với mặt sàn. Chọn hệ trục $ Oxyz $ như hình vẽ, khi đó nắp bể mở ra và tạo với mặt sàn một góc $ \alpha $ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng dm). Bỏ qua độ dày của nắp bể. Phương trình mặt phẳng chứa nắp bể sau khi kéo lên là $ x+by+cz+d=0 $. Tính $ b+c ^ { 2 } -2d=? $

Điểm M nẳm trên mặt phẳng $ \left ( { Oyz } \right ) $ với $ AM=9{ \rm{ dm } }⇒M\left ( { 0;0;9 } \right )∉z=0 $. Chiếu $ C $ lần lượt lên các mặt phẳng ta được $ C\left ( { 9{ \rm{ \cos } }\alpha ;12;9{ \rm{ \sin } }\alpha } \right ) $. Ta có: $ CM=15⇔CM ^ { 2 } =15 ^ { 2 } ⇔(9{ \rm{ \cos } }\alpha ) ^ { 2 } +12 ^ { 2 } +(9{ \rm{ \sin } }\alpha -9) ^ { 2 } =15 ^ { 2 } $ $ ⇔81{ \rm{ \cos } } ^ { 2 } \alpha +144+81{ \rm{ \sin } } ^ { 2 } \alpha -162{ \rm{ \sin } }\alpha +81=225⇔{ \rm{ \cos } } ^ { 2 } \alpha +{ \rm{ \sin } } ^ { 2 } \alpha -2{ \rm{ \sin } }\alpha +1=1 $ $ ⇔1-2{ \rm{ \sin } }\alpha +1=1⇔{ \rm{ \sin } }\alpha =\frac { 1 } { 2 }⇒\alpha =30 ^ { \circ } $. Mặt phẳng kéo lên $ \left ( { ABCD } \right ) $ qua điểm $ A\left ( { 0;0;0 } \right ) $ chứa $ AB $ và $ AD $ Ta có: $ \overset\rightarrow { AD }=\left ( { 0;12;0 } \right ) $ và $ \overset\rightarrow { AC }=\left ( { \frac { 9\sqrt[] { 3 } } { 2 };12;\frac { 9 } { 2 } } \right ) $ Vecto pháp tuyến của mặt $ \left ( { ABCD } \right ) $ là $ \left[ \overset\rightarrow { AC };\overset\rightarrow { AD } \right]=\left ( { 54;0;-54\sqrt[] { 3 } } \right )=54\left ( { 1;0;-\sqrt[] { 3 } } \right ) $ Vậy phương trình mặt phẳng chứa nắp bể sau khi kéo lên là $ x-\sqrt[] { 3 }z=0 $. Cách 2: Mặt phẳng kéo lên $ \left ( { ABCD } \right ) $ đi qua trục $ Oy $ nên có phương trình tổng quát là $ x+az=0 $. Mặt phẳng kéo lên $ \left ( { ABCD } \right ) $ đi qua $ C\left ( { \frac { 9\sqrt[] { 3 } } { 2 };12;\frac { 9 } { 2 } } \right ) $ nên $ \frac { 9\sqrt[] { 3 } } { 2 }+a⋅\frac { 9 } { 2 }=0⇒a=-\sqrt[] { 3 } $. Vậy phương trình mặt phẳng chứa nắp bể sau khi kéo lên là $ x-\sqrt[] { 3 }z=0 $.