Cho $x, a, b, c$ là các số thực dương khi đó:

a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng Lời giải a) Sai. Ta có: $$ \log_{7} \sqrt{56} - \frac{3}{2}\log_{7} 2 = \log_{7} \sqrt{56} - \log_{7} 2^{\frac{3}{2}} = \log_{7} \sqrt{56} - \log_{7} \sqrt{8} = \log_{7} \sqrt{\frac{56}{8}} = \log_{7} \sqrt{7} = \frac{1}{2} $$ b) Đúng. Rút gọn biểu thức: $$ T = 5\log_{\sqrt{2}} \sqrt{x} - 8\log_{4} 8x + \log_{\frac{1}{2}} \frac{x}{16} = 5\log_{2} x - 4\log_{2} 8x - \log_{2} \frac{x}{16} $$ $$ = 5\log_{2} x - 4\Big(3 + \log_{2} x\Big) - \log_{2} x + 4 = -8 $$ c) Sai. Từ giả thiết $\log_{27} 5 = a \Rightarrow a = \frac{1}{3}\log_{3} 5 \Rightarrow \log_{3} 5 = 3a$, nên ta có: $$ \log_{12} 35 = \frac{\log_{3} 35}{\log_{3} 12} = \frac{\log_{3} 5 + \log_{3} 7}{1 + 2\log_{3} 2} = \frac{3a + b}{1 + 2 \cdot \frac{1}{c}} = \frac{3ac + bc}{c + 2} $$ d) Đúng. Ta có: $$ \log_{x} \frac{a + 2b}{3} = \log_{x} \sqrt{a} + \frac{1}{\log_{b} x^{2}} \Leftrightarrow \log_{x} \frac{a + 2b}{3} = \log_{x} \sqrt{ab} $$ $$ \Leftrightarrow a + 2b = 3\sqrt{ab} \Leftrightarrow a^{2} + 4ab + 4b^{2} = 9ab \Leftrightarrow a^{2} - 5ab + 4b^{2} = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a = b \quad (\text{loại do } a \neq b) \\ a = 4b \end{array}\right. \Rightarrow a = 4b $$ Khi đó $P = \dfrac{2ab^{2} + a^{2}b}{(a - 2b)^{3}} = \dfrac{8b^{3} + 16b^{3}}{8b^{3}} = 3.$