Trên một tấm panô quảng cáo sản phẩm, giả sử trong mặt phẳng toạ độ (đơn vị trên hai trục là mét), người ta muốn vẽ hai đường tròn: một đường tròn $ \left ( { C } \right ) $tâm $ I $ có toạ độ $ \left ( { -1;2 } \right ) $ bán kính $ R=2 $ và đường tròn tâm $ A\left ( { 1;2 } \right ) $. Biết đường tròn tâm $ A $ cắt đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ tại hai điểm phân biệt $ B,\,C $. Phần riêng của mỗi đường tròn sẽ vẽ hoạ tiết trang trí và viết nội dung quảng cáo, phần chung của hai đường tròn sẽ được tô màu và viết tên sản phẩm, đơn vị sản xuất. Đường tròn tâm $ A $ phải có bán kính bao nhiêu để tam giác $ ABC $ (trong phần giao nhau của hai đường tròn) có diện tích lớn nhất?

Từ giả thiết đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có tâm $ I(-1;2),R=2 $, $ \overset\rightarrow { IA }=\left ( { 3;0 } \right ) $. + Do $ IA $ vuông $ BC $ nên $ BC $ có một VTPT $ \overset\rightarrow { n }\left ( { 1;\,0 } \right ) ⇒ $ phương trình của $ BC $có dạng: $ x-m=0 $. + Điều kiện để đường thẳng $ BC $ cắt đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ tại hai điểm phân biệt là: $ d_{ (I,BC) } < R⇔\left | { m+1 } \right | < 2⇔-3 < m < 1. $ Ta có $ BC=2BH=2\sqrt[] { R ^ { 2 } -d ^ { 2 } _{ (I,BC) } }=2\sqrt[] { 4-(m+1) ^ { 2 } },\,d_{ (A,BC) } =\left | { 1-m } \right | $ Do đó $ S_{ ABC } =\frac { 1 } { 2 }d_{ (A,BC) } .BC=\left | { 1-m } \right |\sqrt[] { 4-(m+1) ^ { 2 } }=\sqrt[] { (m+3)(1-m) ^ { 3 } } \\ { \rm{ } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }\sqrt[] { (3m+9)(1-m)(1-m)(1-m) }≤\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }\sqrt[] { \left ( { \frac { 3m+9+1-m+1-m+1-m } { 4 } } \right ) ^ { 4 } }=3\sqrt[] { 3 } $ Vậy $ M{ \rm{ ax S } }_{ { \rm{ ABC } } } =3\sqrt[] { 3 }. $ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $ m=-2. $ Khi đó điểm $ B\left ( { -2;2+\sqrt[] { 3 } } \right ) $ hoặc $ B\left ( { -2;2-\sqrt[] { 3 } } \right ) $. Vậy đường tròn tâm $ A $ có bán kính $ r=AB=2\sqrt[] { 3 } $.