Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ có tâm $I(2; -3)$ tiếp xúc với đường thẳng $d: 4x - 3y - 7 = 0$.

Lời giải a) Sai. Khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $d$ là: $d(I, d) = \frac{|4 \cdot 2 - 3 \cdot (-3) - 7|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|8 + 9 - 7|}{5} = \frac{10}{5} = 2$. (Biểu thức tính toán trong đề gốc gõ nhầm dấu của hệ số thành $4 \cdot 2 - 4 \cdot (-3) - 7$). b) Đúng. Vì đường tròn $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ nên bán kính của đường tròn là $R = d(I, d) = 2$. Phương trình đường tròn $(C)$ là: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4 \Leftrightarrow x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0$. c) Đúng. Tiếp điểm $M(a; b)$ là hình chiếu vuông góc của $I(2; -3)$ trên đường thẳng $d$. Đường thẳng $IM$ đi qua $I(2; -3)$ và vuông góc với $d: 4x - 3y - 7 = 0$ nên có phương trình: $3(x - 2) + 4(y + 3) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + 6 = 0$. Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l} 4a - 3b - 7 = 0 \\\\ 3a + 4b + 6 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a = \frac{2}{5} \\\\ b = -\frac{9}{5} \end{array}\right.$ Ta có: $2a + b = 2 \cdot \frac{2}{5} + \left(-\frac{9}{5}\right) = -1$. d) Sai. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $d'$. Ta có: $IH = d(I, d') = \frac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot (-3) + 3|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 - 12 + 3|}{5} = \frac{3}{5}$. Xét tam giác $IMN$ đều nhận $IH$ làm đường cao, ta có: $IM = \frac{IH}{\sin 60^\circ} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{5}$. Bán kính đường tròn $(C')$ là $R' = OM = \frac{2\sqrt{3}}{5}$. Vậy phương trình đường tròn $(C')$ là: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = \left(\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2 = \frac{12}{25}$.