Trong mặt phẳng $ Oxy $, cho đường tròn $ \left ( { C } \right ):\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-2 } \right ) ^ { 2 } =4 $, điểm $ A\left ( { 3;2 } \right ),B\left ( { 4;4 } \right ) $. a) Điểm $ A $nằm trong đường tròn và điểm $ B $ nằm trên đường tròn. b) Phương trình tiếp tuyến với đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ tại điểm $ A $ có dạng $ x-3=0 $ c) Có hai tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm $ B $ lần lượt là $ Δ_{ 1 } :-12x+5y+28=0;Δ_{ 2 } :y=4 $. d) Gọi $ d $ là đường thẳng đi qua $ B $ và cắt đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ theo dây cung lớn nhất. Khi đó khoảng cách từ $ O $ đến $ d $ bằng $ \frac { 4\sqrt[] { 13 } } { 13 } $.

Lời giải a) Sai. Đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có tâm $ I\left ( { 1;2 } \right ) $ và bán kính $ R=2 $. $ IA=2=R,IB=\sqrt[] { 13 }>R $, vậy điểm $ A $nằm trên đường tròn và điểm $ B $ nằm ngoài đường tròn. b) Đúng. tiếp tuyến với đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ tại điểm $ A $ nhận $ \overset\rightarrow { IA }=\left ( { 2;0 } \right ) $ làm vectơ pháp tuyến, có phương trình tổng quát là $ Δ:2\left ( { x-3 } \right )=0⇔x-3=0 $. c) Đúng. Gọi $ Δ':ax+by+c=0\left ( { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } ≠0 } \right ) $ là đường thẳng đi qua điểm $ B $ và tiếp xúc với đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ Ta có $ 4a+4b+c=0⇔c=-4a-4b $. Mặt khác $ d\left ( { I,Δ' } \right )=R=2⇔\frac { \left | { a+2b-4a-4b } \right | } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } } }=2 $ $ ⇔\left | { 3a+2b } \right |=2\sqrt[] { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } }⇔9a ^ { 2 } +12ab+4b ^ { 2 } =4a ^ { 2 } +4b ^ { 2 } ⇔5a ^ { 2 } +12ab=0⇔\left[ \begin{array}{l} a=0 \\ a=-\frac { 12 } { 5 }b \end{array} \right. $. TH1. Với $ a=0 $, chọn $ b=1 $; $ c=-4 $, khi đó đường thẳng $ Δ':y=4 $. TH2. Chọn $ a=-12;b=5 $; $ c=28 $, khi đó đường thẳng$ Δ':-12x+5y+28=0 $. Vậy có hai tiếp tuyến từ $ B $ đến đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ là $ Δ_{ 1 } :-12x+5y+28=0;Δ_{ 2 } :y=4 $. d) Đúng. Gọi $ d $ là đường thẳng đi qua $ B $ và cắt đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ theo dây cung lớn nhất. Khi đó $ d $ đi qua $ B $ và tâm $ I $. Ta có $ \overset\rightarrow { IB }=\left ( { 3;2 } \right ) $, suy ra đường thẳng $ d $ nhận $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 2;-3 } \right ) $ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $ I\left ( { 1;2 } \right ) $ có PTTQ dạng $ 2\left ( { x-1 } \right )-3\left ( { y-2 } \right )=0⇔2x-3y+4=0 $. Khi đó $ d\left ( { O,d } \right )=\frac { \left | { 4 } \right | } { \sqrt[] { 4+9 } }=\frac { 4\sqrt[] { 13 } } { 13 } $.