Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, gọi $ \left ( { C } \right ) $ là đường tròn đi qua hai điểm $ A\left ( { -1;3 } \right ){ \rm{ , } } $ $ B\left ( { 3;1 } \right ) $ và tiếp xúc với đường thẳng $ \left ( { Δ } \right ):3x-4y+m=0 $. Tìm bán kính của đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ biết điểm $ A $ cách đường thẳng $ \left ( { Δ } \right ) $ một khoảng lớn nhất.

Đường trung trực $ d $ của đoạn $ AB $ đi qua trung điểm $ I\left ( { 1;2 } \right ) $ của $ AB $ và nhận $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 4;-2 } \right ) $ làm vec tơ pháp tuyến nên phương trình có dạng: $ 4\left ( { x-1 } \right )-2\left ( { y-2 } \right )=0⇔2x-y=0{ \rm{ } }(d) $. Vì đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ đi qua hai điểm $ A,{ \rm{ } }B $ nên tâm $ I $ của nó phải thuộc $ \left ( { d } \right ) $. Giả sử $ I\left ( { a;2a } \right )∈\left ( { d } \right ) $; Gọi $ M $ là tiếp điểm của $ \left ( { Δ } \right ) $ với $ \left ( { C } \right ) $. Vì $ A $ cách đường thẳng $ \left ( { Δ } \right ) $ một khoảng lớn nhất nên $ I $ phải là trung điểm của $ AM $. Suy ra $ M\left ( { 2a+1;4a-3 } \right ) $. Do $ M∈Δ $ nên $ 3\left ( { 2a+1 } \right )-4\left ( { 4a-3 } \right )+m=0⇔m=10a-15{ \rm{ } }\left ( { 1 } \right ) $. Theo giả thiết $ R=IB=d\left ( { I;Δ } \right ) $. Hay $ IB=d\left ( { I;Δ } \right )⇔\sqrt[] { \left ( { 3-a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 1-2a } \right ) ^ { 2 } }=\left | { a-3 } \right | $ $ ⇔\left ( { 3-a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 1-2a } \right ) ^ { 2 } =\left ( { a-3 } \right ) ^ { 2 } ⇔\left ( { 1-2a } \right ) ^ { 2 } =0⇔a=\frac { 1 } { 2 } $ Suy ra $ R=\left | { a-3 } \right |=\left | { \frac { 1 } { 2 }-3 } \right |=\frac { 5 } { 2 }=2,5 $.