Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, cho $ A\left ( { 1;2 } \right ) $, đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có phương trình $ \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-2 } \right ) ^ { 2 } =100 $ và đường thẳng $ d:x-y-9=0 $. a) Điểm $ A $ nằm ngoài đường tròn $ \left ( { C } \right ) $. b) Đường thẳng $ d $ cắt đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ tại 2 điểm $ M,\,N $ có $ MN=2\sqrt[] { 14 } $. c) Đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có 1 tiếp tuyến song song với $ d $. d) Đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có 2 tiếp tuyến vuông góc với $ d $ có phương trình là $ x+y+c_{ 1 } =0 $ và $ x+y+c_{ 2 } =0 $. Khi đó $ c_{ 1 } c_{ 2 } =-199 $.

Lời giải a) SAI. Thay $ x=1;y=2 $ vào về trái của $ \left ( { C } \right ) $ ta có: $ \left ( { 1+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2-2 } \right ) ^ { 2 } < 100 $. Vậy $ A $ nằm trong đường tròn $ \left ( { C } \right ) $. b) SAI. Tọa độ giao điểm (nếu có) của $ d $ và $ \left ( { C } \right ) $ là nghiệm hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} x-y-9=0 \\ \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-2 } \right ) ^ { 2 } =100 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{l} y=x-9 \\ \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { x-11 } \right ) ^ { 2 } =100 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{l} y=x-9 \\ 2x ^ { 2 } -20x+22=0 \end{array} \right. $ $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} x=5+\sqrt[] { 14 } \\ y=-4+\sqrt[] { 14 } \end{array} \right. $ hoặc $ \left \{ \begin{array}{l} x=5-\sqrt[] { 14 } \\ y=-4-\sqrt[] { 14 } \end{array} \right. $. Vậy $ d $ và $ \left ( { C } \right ) $ cắt nhau tại 2 điểm $ M,\,N $ có tọa độ là $ \left ( { 5+\sqrt[] { 14 };-4+\sqrt[] { 14 } } \right ),\left ( { 5-\sqrt[] { 14 };-4-\sqrt[] { 14 } } \right ) $. Khi đó: $ MN=4\sqrt[] { 7 } $. c) SAI. Đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có tâm $ I\left ( { -1;2 } \right ) $ và bán kính $ R=10 $. Gọi $ d_{ 1 } $ là tiếp tuyến của đường tròn $ \left ( { C } \right ) $. $ d_{ 1 } { \rm{ // } }d $ nên phương trình $ d_{ 1 } $ có dạng: $ x-y+m=0 $, $ m≠-9 $. $ d_{ 1 } $ tiếp xúc với $ \left ( { C } \right ) $, do đó: $ d\left ( { I,d_{ 1 } } \right )=R⇔\frac { \left | { -1-2+m } \right | } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2 } } }=10⇔\left[\begin{array}{l} m=3+10\sqrt[] { 2 } \\ m=3-10\sqrt[] { 2 } \end{array}\right. $ (thỏa mãn). Vậy có 2 tiếp tuyến của $ \left ( { C } \right ) $ và song song $ d $ có phương trình là: $ x-y+3+10\sqrt[] { 2 }=0 $; $ x-y-10\sqrt[] { 2 }=0 $. d) ĐÚNG. Đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có tâm $ I\left ( { -1;2 } \right ) $ và bán kính $ R=10 $. Gọi $ Δ $ là tiếp tuyến của đường tròn $ \left ( { C } \right ) $. $ Δ⊥d $ nên phương trình $ Δ $ có dạng: $ x+y+c=0 $. $ Δ $ tiếp xúc với $ \left ( { C } \right ) $, do đó: $ d\left ( { I,Δ } \right )=R⇔\frac { \left | { -1+2+c } \right | } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2 } } }=10⇔\left[\begin{array}{l} c=-1+10\sqrt[] { 2 } \\ c=-1-10\sqrt[] { 2 } \end{array}\right. $ (thỏa mãn). Vậy có 2 tiếp tuyến của $ \left ( { C } \right ) $ và vuông góc $ d $ có phương trình là: $ x+y-1+10\sqrt[] { 2 }=0 $; $ x+y-1-10\sqrt[] { 2 }=0 $. Suy ra: $ c_{ 1 } .c_{ 2 } =\left ( { -1+10\sqrt[] { 2 } } \right ).\left ( { -1-10\sqrt[] { 2 } } \right )=-199 $.