Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, cho hai đường thẳng $ \left ( { Δ } \right ):x+3y+8=0 $; $ \left ( { Δ' } \right ):3x-4y+10=0 $ và điểm $ A\left ( { -2;1 } \right ) $. Đường tròn có tâm $ I\left ( { a;b } \right ) $ thuộc đường thẳng $ \left ( { Δ } \right ) $, đi qua $ A $ và tiếp xúc với đường thẳng $ \left ( { Δ' } \right ) $. Tính $ a+b $.

Lời giải Đáp số : -2 Vì $ I∈\left ( { Δ } \right ) $ nên $ a+3b+8=0⇔a=-8-3b $. Vì đường tròn đi qua $ A $ và tiếp xúc với đường thẳng $ \left ( { Δ' } \right ) $ nên: $ d\left ( { I,Δ' } \right )=IA $ $ ⇔\frac { \left | { 3a-4b+10 } \right | } { 5 }=\sqrt[] { \left ( { -2-a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 1-b } \right ) ^ { 2 } }\,\,\,\,\,\,\left ( { 1 } \right ) $. Thay $ a=-8-3b $ vào $ \left ( { 1 } \right ) $ ta có: $ \frac { \left | { 3\left ( { -8-3b } \right )-4b+10 } \right | } { 5 }=\sqrt[] { \left ( { -2+8+3b } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 1-b } \right ) ^ { 2 } } $ $ ⇔\left | { -14-13b } \right |=5\sqrt[] { 10b ^ { 2 } +34b+37 } $ $ ⇔\left ( { -14-13b } \right ) ^ { 2 } =25\left ( { 10b ^ { 2 } +34b+37 } \right ) $ $ ⇔81b ^ { 2 } +486b+729=0 ⇔b=-3 $. Với $ b=-3⇔a=1 $. $ a+b=-2 $.