Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $\Delta: 4x + 3y + 8 = 0$, $\Delta': 3x - 4y + 10 = 0$ và đường thẳng $d: x + y + 1 = 0$. Đường tròn có tâm $I(a; b)$ (với $b < 1$) thuộc đường thẳng $d$, đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$. Tính giá trị của $a + b$.

Lời giải Vì tâm $I(a; b)$ thuộc đường thẳng $d: x + y + 1 = 0$ nên ta có hệ thức: $a + b + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b = -1$. *Lưu ý từ điều kiện bài toán:* Đề bài yêu cầu tính giá trị của biểu thức $a + b$. Do tâm $I(a; b)$ luôn nằm trên đường thẳng $d: x + y + 1 = 0$ nên tổng $a + b$ cố định bằng $-1$ với mọi tọa độ của $I$ thỏa mãn thuộc đường thẳng $d$. Do đó, ta không cần giải chi tiết tìm ra cụ thể từng giá trị của $a$ và $b$ vẫn kết luận được đáp số. Để kiểm tra lại tính hợp lệ của điều kiện $b < 1$: Vì đường tròn tiếp xúc với cả hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ nên khoảng cách từ tâm $I$ đến hai đường thẳng này phải bằng nhau: $d(I, \Delta) = d(I, \Delta') \Leftrightarrow \frac{|4a + 3b + 8|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|3a - 4b + 10|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$ $\Leftrightarrow |4a + 3b + 8| = |3a - 4b + 10| \quad (1)$ Thay $a = -1 - b$ vào phương trình $(1)$ ta được: $|4(-1 - b) + 3b + 8| = |3(-1 - b) - 4b + 10|$ $\Leftrightarrow |-b + 4| = |-7b + 7|$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 4 - b = 7 - 7b \\ 4 - b = 7b - 7 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} b = \frac{1}{2} \\ b = \frac{11}{8} \end{array}\right.$ Do $b < 1$ nên ta nhận $b = \frac{1}{2}$, suy ra $a = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$. Vậy $a + b = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1$ (thỏa mãn điều kiện $b < 1$).