Cho hai đường tròn $(C_1): x^2 + y^2 = 9$ và $(C_2): (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 36$. Biết tiếp tuyến chung của hai đường tròn có dạng $a_1x + b_1y + 3 = 0$ và $a_2x + b_2y - 75 = 0$. Tính giá trị của biểu thức $a_1 + a_2 + b_1 + b_2$.

Lời giải Đường tròn $(C_1)$ có tâm $I_1(0; 0)$ và bán kính $R_1 = 3$. Đường tròn $(C_2)$ có tâm $I_2(3; 4)$ và bán kính $R_2 = 6$. Gọi phương trình đường thẳng tiếp tuyến chung của hai đường tròn là $\Delta: ax + by + c = 0$ (với $a^2 + b^2 \neq 0$). Vì $\Delta$ tiếp xúc với cả hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ nên ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l} d(I_1, \Delta) = R_1 \\ d(I_2, \Delta) = R_2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 3 \quad (1) \\ \frac{|3a + 4b + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 6 \quad (2) \end{array}\right.$ Chia vế theo vế của (2) cho (1), ta được: $\frac{|3a + 4b + c|}{|c|} = \frac{6}{3} = 2 \Leftrightarrow |3a + 4b + c| = 2|c|$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 3a + 4b + c = 2c \\ 3a + 4b + c = -2c \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} c = 3a + 4b \\ c = -a - \frac{4}{3}b \end{array}\right.$ Trường hợp 1: $c = 3a + 4b$. Thay vào phương trình (1) ta được: $\frac{|3a + 4b|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 3 \Leftrightarrow (3a + 4b)^2 = 9(a^2 + b^2) \Leftrightarrow 9a^2 + 24ab + 16b^2 = 9a^2 + 9b^2 \Leftrightarrow 7b^2 + 24ab = 0 \Leftrightarrow b(7b + 24a) = 0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} b = 0 \\ b = -\frac{24}{7}a \end{array}\right.$ Với $b = 0$: chọn $a = 1 \Rightarrow c = 3a + 4b = 3$, ta được tiếp tuyến $x + 3 = 0$ (dạng $a_1x + b_1y + 3 = 0$ với $a_1 = 1,\ b_1 = 0$). Với $b = -\frac{24}{7}a$: chọn $a = 7,\ b = -24 \Rightarrow c = 3(7) + 4(-24) = -75$, ta được tiếp tuyến $7x - 24y - 75 = 0$ (dạng $a_2x + b_2y - 75 = 0$ với $a_2 = 7,\ b_2 = -24$). Trường hợp 2: $c = -a - \frac{4}{3}b$. Do hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ có $d(I_1, I_2) = 5$ nằm giữa $|R_2 - R_1| = 3$ và $R_1 + R_2 = 9$ nên hai đường tròn cắt nhau, không tồn tại tiếp tuyến chung trong; trường hợp này bị loại. Vậy $a_1 + a_2 + b_1 + b_2 = 1 + 7 + 0 + (-24) = -16$.