Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $ Oxy $, cho điểm $ M(-3;1) $ và đường tròn $ \left ( { C } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } -2x-6y+6=0 $. Gọi $ T_{ 1 } $, $ T_{ 2 } $ là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ $ M $ đến (C). Tính khoảng cách $ MT_{ 1 } $.

Lời giải Đáp số: 4 +$ \left ( { C } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } -2x-6y+6=0⇔\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-3 } \right ) ^ { 2 } =4 $ suy ra $ \left ( { C } \right ) $có tâm $ I\left ( { 1;\,3 } \right ) $và $ R=2 $ + Phương trình đường thẳng $ d $ đi qua $ M(-3;1) $có phương trình: $ A\left ( { x+3 } \right )+B\left ( { y-1 } \right )=0 $. $ d $ là tiếp tuyến với đường tròn khi và chỉ khi $ d\left ( { I;d } \right )=R $. $ ⇒ $ta có phương trình: $ \frac { \left | { A+3B+3A-B } \right | } { \sqrt[] { A ^ { 2 } +B ^ { 2 } } }=2⇔3A ^ { 2 } +4AB=0⇔\left[ A=0 \ 3A=-4B \right. $ + Với $ A=0 $, chọn $ B=1 $, phương trình tiếp tuyến thứ nhất là $ \left ( { d_{ 1 } } \right ):y=1 $. Thế $ y=1 $ vào $ \left ( { C } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } -2x-6y+6=0 $, ta được tiếp điểm là $ T_{ 1 } \left ( { 1;1 } \right ) $. Khi đó $ MT_{ 1 } =\sqrt[] { (-3-1) ^ { 2 } +\left ( { 1-1 } \right ) ^ { 2 } }=4 $.