Cho đường tròn $(C)$: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$. a) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ song song với đường thẳng $d_1$: $x + y - 2 = 0$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(-1; 1)$.

a) Đúng. Vì tiếp tuyến $\Delta_1$ của đường tròn $(C)$ song song với đường thẳng $d_1$: $x + y - 2 = 0$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(-1; 1)$. b) Sai. Phương trình tiếp tuyến $\Delta_1$ của đường tròn $(C)$ song song với đường thẳng $d_1$: $x + y - 2 = 0$ có dạng: $x + y + m = 0$ (với $m \neq -2$). Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1; 1)$, bán kính $R = \sqrt{2}$. Mà $\Delta_1$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ nên $d(I, \Delta_1) = R \Leftrightarrow \frac{|1 + 1 + m|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \sqrt{2}$. $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m = 0 \\\\ m = -4 \end{array}\right.$. Vậy phương trình tiếp tuyến $\Delta_1$ của đường tròn $(C)$ song song với đường thẳng $d_1$: $x + y - 2 = 0$ là: $x + y = 0$ hoặc $x + y - 4 = 0$. c) Sai. Phương trình tiếp tuyến $\Delta_2$ của đường tròn $(C)$ vuông góc với đường thẳng $d_2$: $x - y + 1 = 0$ có dạng: $x + y + m = 0$. Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1; 1)$, bán kính $R = \sqrt{2}$. Mà $\Delta_2$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ nên $d(I, \Delta_2) = R \Leftrightarrow \frac{|1 + 1 + m|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \sqrt{2}$. $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m = 0 \\ m = -4 \end{array}\right.$. Vậy phương trình tiếp tuyến $\Delta_2$ của đường tròn $(C)$ vuông góc với đường thẳng $d_2$: $x - y + 1 = 0$ có dạng: $x + y = 0$ hoặc $x + y - 4 = 0$. d) Sai. Ta thấy: $\left\{\begin{array}{l} -1 - 3 - 2 \neq 0 \\ -1 - 3 - 4 \neq 0 \end{array}\right.$ nên $M(-1; -3)$ đều không thuộc hai phương trình tiếp tuyến $\Delta_1$ của đường tròn $(C)$ song song với đường thẳng $d_1$ là $x + y = 0$ hoặc $x + y - 4 = 0$.