Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ có tâm $O$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta: 4x - 3y - 5 = 0$.

Lời giải a) Sai. Vì tâm của đường tròn là gốc tọa độ $O(0; 0)$ chứ không phải điểm $I$. Khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $\Delta$ là: $d(O, \Delta) = \frac{|-5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = 1$. b) Đúng. Vì đường tròn $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ nên bán kính $R = d(O, \Delta) = 1$. Phương trình đường tròn $(C)$ tâm $O(0; 0)$, bán kính $R = 1$ là: $x^2 + y^2 = 1$. c) Sai. Tiếp điểm $M(a; b)$ là hình chiếu của tâm $O(0; 0)$ trên đường thẳng $\Delta$. Đường thẳng $OM$ đi qua $O(0; 0)$ và vuông góc với $\Delta$ nên có phương trình: $3x + 4y = 0$. Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l} 4a - 3b - 5 = 0 \\\\ 3a + 4b = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a = \frac{4}{5} \\\\ b = -\frac{3}{5} \end{array}\right. \Rightarrow a - b = \frac{4}{5} - \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{7}{5}$. d) Sai. Gọi $H$ là trung điểm của $MN$, suy ra $OH \perp MN$ tại $H$. Ta có: $OH = d(O, \Delta') = \frac{|10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 2$. Vì tam giác $OMN$ đều nên $OH = OM \cdot \sin 60^\circ \Rightarrow OM = \frac{OH}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$. Bán kính đường tròn $(C')$ là $R' = OM = \frac{4}{\sqrt{3}}$. Phương trình đường tròn $(C')$ là: $x^2 + y^2 = \frac{16}{3}$.