Bài tập nâng cao · Bài 33
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 33
Từ các chữ số $2;3;4;5;6;7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và tổng ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng ba chữ số sau 1 đơn vị?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcdef}$ ($a,b,c,d,e,f$ đôi một khác nhau và $a,b,c,d,e,f\in\{2;3;4;5;6;7\}$).
Đặt $X=a+b+c$ và $Y=d+e+f$. Theo bài ra, ta có $X+1=Y$.
Vì tổng 6 chữ số là $X+Y=27$, suy ra $\left\{\begin{array}{l}X-Y=-1\\X+Y=27\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}X=13\\Y=14\end{array}\right.$.
Khi đó có các bộ số thỏa mãn là: $(a;b;c)\in\{(3;4;6),(2;5;6),(2;4;7)\}$.
Vậy có tất cả $3\cdot3!\cdot3!=108$ số.
Đặt $X=a+b+c$ và $Y=d+e+f$. Theo bài ra, ta có $X+1=Y$.
Vì tổng 6 chữ số là $X+Y=27$, suy ra $\left\{\begin{array}{l}X-Y=-1\\X+Y=27\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}X=13\\Y=14\end{array}\right.$.
Khi đó có các bộ số thỏa mãn là: $(a;b;c)\in\{(3;4;6),(2;5;6),(2;4;7)\}$.
Vậy có tất cả $3\cdot3!\cdot3!=108$ số.