Bài tập nâng cao · Bài 6
Dạng 2. Công thức nhân đôi
Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 6
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a. Cho $\tan\frac{x}{2}=-2$. Tính $A=\frac{3\sin x+4\cos x}{4\cot x+3\tan x}$
b. Cho $\sin x=-\frac{4}{5}$ và $\frac{3\pi}{2}<x<2\pi$. Tính $\cos\frac{x}{2}$ và $\sin\frac{x}{2}$
c. Cho $\tan x=\frac{1}{15}$. Tính $B=\frac{\sin 2x}{1+\tan 2x}$
d. Cho $\tan\frac{x}{2}=-\frac{1}{2}$. Tính $C=\frac{2\sin 2x-\cos 2x}{\tan 2x+\cos 2x}$
a. Cho $\tan\frac{x}{2}=-2$. Tính $A=\frac{3\sin x+4\cos x}{4\cot x+3\tan x}$
b. Cho $\sin x=-\frac{4}{5}$ và $\frac{3\pi}{2}<x<2\pi$. Tính $\cos\frac{x}{2}$ và $\sin\frac{x}{2}$
c. Cho $\tan x=\frac{1}{15}$. Tính $B=\frac{\sin 2x}{1+\tan 2x}$
d. Cho $\tan\frac{x}{2}=-\frac{1}{2}$. Tính $C=\frac{2\sin 2x-\cos 2x}{\tan 2x+\cos 2x}$
Xem lời giải
Lời giải
a. $A=\frac{3\sin x+4\cos x}{4\cot x+3\tan x}=\frac{3\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\left( \tan\frac{x}{2} \right)^{2}}+4\frac{1-\left( \tan\frac{x}{2} \right)^{2}}{1+\left( \tan\frac{x}{2} \right)^{2}}}{4\frac{1-\left( \tan\frac{x}{2} \right)^{2}}{2\tan\frac{x}{2}}+3\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1-\left( \tan\frac{x}{2} \right)^{2}}}=\frac{-24}{35}.$
b. $\sin x=-\frac{4}{5}\Rightarrow \cos^{2}x=\frac{9}{25}$
Do $\frac{3\pi}{2}<x<2\pi$ nên $\cos x=\frac{3}{5}$
$\sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}=\frac{1}{5}, \cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}=\frac{4}{5}$
Do $\frac{3\pi}{2}<x<2\pi\Leftrightarrow \frac{3\pi}{4}<\frac{x}{2}<\pi$ nên $\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5},\cos\frac{x}{2}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
c. $B=\frac{\sin 2x}{1+\tan 2x}=\frac{\frac{2\tan x}{1+\tan^{2}x}}{1+\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x}}=\frac{1680}{14351}.$
d. $\sin x=\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\left( \tan\frac{x}{2} \right)^{2}}=-\frac{4}{5}, \cos x=\frac{1-\left( \tan\frac{x}{2} \right)^{2}}{1+\left( \tan\frac{x}{2} \right)^{2}}=\frac{3}{5}$
$C=\frac{2\sin 2x-\cos 2x}{\tan 2x+\cos 2x}=\frac{4\sin x.\cos x-\left( 2\cos^{2}x-1 \right)}{\frac{2\sin x.\cos x}{2\cos^{2}x-1}+\left( 2\cos^{2}x-1 \right)}=\frac{-287}{551}.$
b. $\sin x=-\frac{4}{5}\Rightarrow \cos^{2}x=\frac{9}{25}$
Do $\frac{3\pi}{2}<x<2\pi$ nên $\cos x=\frac{3}{5}$
$\sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}=\frac{1}{5}, \cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}=\frac{4}{5}$
Do $\frac{3\pi}{2}<x<2\pi\Leftrightarrow \frac{3\pi}{4}<\frac{x}{2}<\pi$ nên $\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5},\cos\frac{x}{2}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
c. $B=\frac{\sin 2x}{1+\tan 2x}=\frac{\frac{2\tan x}{1+\tan^{2}x}}{1+\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x}}=\frac{1680}{14351}.$
d. $\sin x=\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\left( \tan\frac{x}{2} \right)^{2}}=-\frac{4}{5}, \cos x=\frac{1-\left( \tan\frac{x}{2} \right)^{2}}{1+\left( \tan\frac{x}{2} \right)^{2}}=\frac{3}{5}$
$C=\frac{2\sin 2x-\cos 2x}{\tan 2x+\cos 2x}=\frac{4\sin x.\cos x-\left( 2\cos^{2}x-1 \right)}{\frac{2\sin x.\cos x}{2\cos^{2}x-1}+\left( 2\cos^{2}x-1 \right)}=\frac{-287}{551}.$