Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (tham khảo hình vẽ 1.1). Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất). Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở tại đỉnh của một chiếc nón và Trái Đất được “thả” vào trong chiếc nón đó thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón (tham khảo hình 1.2). Trong không gian $ Oxyz $, giả sử bề mặt Trái Đất $ \left ( { S } \right ) $ có phương trình $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =1 $ và người quan sát ở vị trí $ B\left ( { 1\,;\,1\,;\,-1 } \right ) $; $ A $ là một vị trí bất kì trên đường chân trời đối với người quan sát ở vị trí $ B $ sao cho $ \widehat { BAO }=90° $ (tham khảo hình 1.3)

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Khoảng cách từ vị trí điểm $ B $ đến tâm Trái Đất bằng $ \sqrt[] { 3 } $. Đúng. b. Khoảng cách giữa hai điểm $ A $ và $ B $ là $ \sqrt[] { 2 } $. Đúng. c. Điểm $ A $ luôn thuộc một mặt phẳng cố định. Đúng. d. Phương trình mặt cầu đường kính OB là $ \left ( { x-\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z-\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 3 } { 4 } $. Sai. Lời giải: a) đúng. Ta có: mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có tâm $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $ và bán kính $ R=1 $. $ OB=\sqrt[] { 1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 3 } $ b) đúng. Xét tam giác $ BAO $ vuông tại $ A $ nên $ AB=\sqrt[] { OB ^ { 2 } -OA ^ { 2 } }=\sqrt[] { OB ^ { 2 } -R ^ { 2 } }=\sqrt[] { 3-1 }=\sqrt[] { 2 } $. c) đúng. Xét tam giác $ BAO $ vuông tại $ A $, gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên $ BO $. Ta có: $ OH⋅OB=OA ^ { 2 } ⇒OH=\frac { OA ^ { 2 } } { OB }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } $ Suy ra $ OH=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 }OB $ và $ \overset\rightarrow { OH },\,\overset\rightarrow { OB } $ cùng hướng nên $ \overset\rightarrow { OH }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 }\overset\rightarrow { OB } $. Do đó $ H\left ( { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 }\,;\,\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 }\,;\,-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right ) $ Gọi $ \left ( { \alpha } \right ) $ là mặt phẳng đi qua điểm $ H $ và vuông góc với $ BO $. Suy ra điểm $ A $ luôn thuộc mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ) $. Vậy điểm $ A $ luôn thuộc một mặt phẳng cố định $ \left ( { \alpha } \right ) $ d) sai. Gọi $ I $ là trung điểm của đoạn $ BO $. Suy ra $ I\left ( { \frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 };-\frac { 1 } { 2 } } \right ) $, $ OI=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $ Phương trình mặt cầu đường kính OB là $ \left ( { x-\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z+\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 3 } { 4 } $.

Cùng dạng: Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng, mặt phẳng với mặt cầu