Một trạm quan sát hình cầu có đường kính 10 m và tâm $ M(0;0;12) $ được đỡ bởi bốn cột thép như hình vẽ. Các cột thép này chạy dọc theo các cạnh của một hình chóp tứ giác đều, với đỉnh $ M $. Vị trí các điểm cột nối với mặt cầu khi nối lại sẽ tạo thành 1 đa giác. Tính diện tích của đa giác đó.

Ta đặt hệ $ Oxyz $ như hình. Quả cầu tâm $ M(0;0;12) $, bán kính $ R=5 $ (đường kính 10 m). Bốn cột thép trùng với bốn cạnh của một chóp tứ giác đều đỉnh $ M $ có chân ở mặt đất tại $ A(9;0;0),B(0;9;0),C(-9;0;0),D(0;-9;0). $ Vị trí các điểm cột nối với mặt cầu Lấy cạnh $ MA $ làm mẫu: có $ \overset\rightarrow { MA }=\left ( { 9;0;-12 } \right ) $. Suy ra $ MA:\left \{ \begin{array}{l} x=9t \\ y=0 \\ z=12-12t \end{array} \right.\ ,\quad t\in [0,1]. $ Điểm $ A_{ 1 } $ trên đường $ MA $ này thuộc mặt cầu khi $ MA_{ 1 } =R\ ⇔\ t\sqrt[] { 9 ^ { 2 } +12 ^ { 2 } }=5\ ⇔\ t=\frac { 1 } { 3 }. $ Suy ra điểm nối là $ A_{ 1 } =(3;0;8). $ Tương tự cho ba cạnh còn lại: $ B_{ 1 } \left ( { 0;3;8 } \right ),C_{ 1 } \left ( { -3;0;8 } \right ),D_{ 1 } \left ( { 0;-3;8 } \right ) $ Tứ giác $ A_{ 1 } (3;0;8),B_{ 1 } (0;3;8),C_{ 1 } (-3;0;8),D_{ 1 } (0;-3;8) $ nằm trên mặt phẳng $ z=8 $, nên ta tính diện tích trên mặt phẳng $ Oxy $ với bốn điểm $ (3;0),(0;3),(-3;0),(0;-3) $. Ta dễ chứng minh được đây là hình vuông $ A_{ 1 } B_{ 1 } =3\sqrt[] { 2 } $ Diện tích: $ S=\left ( { 3\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } =18. $(đơn vị diện tích)