Mô hình quả cầu Một nhà sản xuất ổ bi đã đặt một mô hình quả cầu khổng lồ trên mái nghiêng của nhà xưởng. Mặt mái có thể được mô tả bằng mặt phẳng $ E:x+2y+2z=10 $. Trong đó $ A,B,C $ là giao điểm của mặt phẳng $ E $ với các trục tọa độ. Một mô hình quả cầu bán kính $ r=3  $ được đặt tiếp xúc với mặt phẳng $ E $ tại điểm $ C $. Từ $ C $ kẻ đường vuông góc với $ AB $ tại $ F $. Khi thay thế quả cầu, nó lăn trên đường thẳng $ CF $ cho đến khi quả cầu vừa tiếp xúc với mặt phẳng $ Oxy $ tại $ P\left ( { a;b;0 } \right ) $ thì dừng lại. Tính $ a+b $

Mái: $ E:\ x+2y+2z=10 $. Giao $ A,B,C $ của $ E $ với các trục * Với trục $ Ox $ ($ y=z=0 $) ⟹ $ x=10 $ ⟹ $ A(10;0;0) $. * Với trục $ Oy $ ($ x=z=0 $) ⟹ $ 2y=10 $ ⟹ $ B(0;5;0) $. * Với trục $ Oz $ ($ x=y=0 $) ⟹ $ 2z=10 $ ⟹ $ C(0;0;5) $. Có $ v=\overset\rightarrow { AB }=(-10;5;0),AB:\ \left \{ \begin{array}{l} x=10-10t \\ y=0+5t \\ z=0 \end{array} \right. $ Điều kiện $ \overset\rightarrow { CF }⊥v $: $ (10-10t_{ 0 } ;\ 5t_{ 0 } ;\ -5)⋅(-10;5;0)=0⇒-100+125t_{ 0 } =0⇒t_{ 0 } =\frac { 4 } { 5 }. $ $ ⇒F(2;4;0) $. Vì quả cầu tiếp xúc với $ E $ tại $ C $ nên $ n(1;2;2) $ là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua tâm quả cầu, khi đó đường thẳng tìm được là $ \left \{ \begin{array}{l} x=s \\ y=2s \\ z=5+2s \end{array} \right.(s>0) $ Khi đó $ MC=3⇔s ^ { 2 } +4s ^ { 2 } +4s ^ { 2 } =9⇔s=1 $suy ra $ M(1;2;7) $ Quả cầu lăn theo đường thẳng qua $ C $ và $ F $, nhận $ \overset\rightarrow { CF }=(2;4;-5) $ làm vecto chỉ phương Vậy quỹ đạo tâm: $ d_{ M } :\ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=2+4t \\ z=7-5t \\ \end{array} \end{array} \right.\ (t\in \mathbb{R}). $ Cuối cùng quả cầu đặt xuống mặt phẳng $ Oxy $ ($ z=3 $) Khi tiếp xúc $ Oxy $: $ z=r=3⇒7-5t=3⇒t=0,8 $. Vậy $ P\left ( { \frac { 13 } { 5 };\frac { 26 } { 5 };0 } \right ) $ là điểm tiếp xúc với $ Oxy $.