(Sở Nam Định 2025) RLK-MTs Valdai, hệ thống radar chuyên dụng của Nga dùng để phát hiện, ngăn chặn và vô hiệu hóa các máy bay không người lái nhỏ. Nó được thiết kế để phát hiện máy bay không người lái của đối phương ở khoảng cách lên đến $ 15km $ và hạ gục chúng bằng các biện pháp đối phó điện tử (sử dụng module triệt tiêu tín hiệu điều khiển và điều hướng) ở cự ly từ $ 2km $ trở xuống. Trong không gian $ Oxyz $ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một cơ sở quân sự có một nhà kho chứa vũ khí bí mật đặt tại điểm $ A\left ( { 2;0;0 } \right ) $ và sử dụng một hệ thống RLK-MTs Valdai đặt tại điểm $ T\left ( { -300;-500;0 } \right ) $ để bảo vệ. Một máy bay không người lái (drone) của quân địch đang ở tại điểm $ B\left ( { 5002;3000;4000 } \right ) $, được điều khiển tiến thẳng đến vị trí điểm $ A $ và sẽ phát nổ tại $ A $ nếu không bị ngăn cản.

a) Sai. Ta có: $ \overset\rightarrow { BT }=\left ( { 5302;3500;4000 } \right ) ⇒BT=\sqrt[] { 5302 ^ { 2 } +3500 ^ { 2 } +4000 ^ { 2 } }=2\sqrt[] { 1565589 }≈7507,41\left ( { m } \right )≈7,50741\left ( { km } \right ) < 15\left ( { km } \right ) $. Do đó khi drone ở tại điểm $ B $ thì drone nằm trong vùng kiểm soát của hệ thống radar. b) Sai. Ta có: $ \overset\rightarrow { CA }=\left ( { 1;\frac { 3 } { 5 };\frac { 4 } { 5 } } \right );\overset\rightarrow { CB }=\left ( { 5001;\frac { 15003 } { 5 };\frac { 20004 } { 5 } } \right )⇒\overset\rightarrow { CB }=5001.\overset\rightarrow { CA } $. Suy ra điểm $ C $ thuộc đường thẳng $ BA $ nhưng nằm ngoài đoạn $ BA $. Do đó điểm $ C\left ( { 1;-\frac { 3 } { 5 };-\frac { 4 } { 5 } } \right ) $ không nằm trên đoạn đường di chuyển của drone c) Sai. Khu vực hệ thống RLK-MTs Valdai có thể hạ gục được drone là khối cầu $ \left ( { S } \right ) $ tâm $ T\left ( { -300;-500;0 } \right ) $, bán kính $ r=2000 $. Xét giao điểm của đường thẳng $ BA $ và mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $. $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 5000;3000;4000 } \right ) $, chọn $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 5;3;4 } \right ) $. Đường thẳng $ BA $ nhận $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 5;3;4 } \right ) $ làm vecto chỉ phương và đi qua điểm $ A\left ( { 2;0;0 } \right ) $ nên có phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} x=2+5t \\ y=3t \\ z=4t \end{array} \right. $. Mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có phương trình: $ \left ( { x+300 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+500 } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } =4000000 $. Xét hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} x=2+5t \\ y=3t \\ z=4t \\ \left ( { x+300 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+500 } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } =4000000 \end{array} \right.⇒\left \{ \begin{array}{l} x=-299-\sqrt[] { 1919999 } \\ y=-\frac { 3\sqrt[] { 1919999 } } { 5 }-\frac { 903 } { 5 } \\ z=-\frac { 4\sqrt[] { 1919999 } } { 5 }-\frac { 1204 } { 5 } \\ t=-\frac { \sqrt[] { 1919999 } } { 5 }-\frac { 301 } { 5 } \end{array} \right. $ hoặc $ \left \{ \begin{array}{l} x=-299+\sqrt[] { 1919999 } \\ y=\frac { 3\sqrt[] { 1919999 } } { 5 }-\frac { 903 } { 5 } \\ z=\frac { 4\sqrt[] { 1919999 } } { 5 }-\frac { 1204 } { 5 } \\ t=\frac { \sqrt[] { 1919999 } } { 5 }-\frac { 301 } { 5 } \end{array} \right. $. Suy ra vị trí đầu tiên mà hệ thống RLK-MTs Valdai có thể hạ gục được drone là điểm $ M_{ 1 } \left ( { -299+\sqrt[] { 1919999 };\frac { 3\sqrt[] { 1919999 } } { 5 }-\frac { 903 } { 5 };\frac { 4\sqrt[] { 1919999 } } { 5 }-\frac { 1204 } { 5 } } \right ) $. $ AM_{ 1 } =\sqrt[] { 3839998 }-301\sqrt[] { 2 }≈1533,9\left ( { m } \right ) < 1911,6\left ( { m } \right ) $. d) Đúng. Gọi $ H\left ( { 2+5t;3t;4t } \right ) $ là hình chiếu vuông góc của $ T $ lên đường thẳng $ BA $. Ta có: $ \overset\rightarrow { TH }=\left ( { 302+5t;500+3t;4t } \right ) $, $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 5;3;4 } \right ) $$ ⇒\overset\rightarrow { TH }.\overset\rightarrow { u }=0⇔5.\left ( { 302+5t } \right )+3.\left ( { 500+3t } \right )+4.4t=0⇔t=-\frac { 301 } { 5 } $. Suy ra: $ H\left ( { -299;-\frac { 903 } { 5 };-\frac { 1204 } { 5 } } \right ) $; $ \overset\rightarrow { HA }=\left ( { 301;\frac { 903 } { 5 };\frac { 1204 } { 5 } } \right );\overset\rightarrow { HB }=\left ( { 5301;\frac { 15903 } { 5 };\frac { 21204 } { 5 } } \right )⇒\overset\rightarrow { HB }=\frac { 5301 } { 301 }.\overset\rightarrow { HA } $. Suy ra điểm $ H $ nằm ngoài đoạn $ BA $. Lại có: $ \overset\rightarrow { TA }=\left ( { 302;500;0 } \right )⇒TA=\sqrt[] { 302 ^ { 2 } +500 ^ { 2 } +0 ^ { 2 } }=2\sqrt[] { 85302 }≈584,1267\left ( { m } \right ) $; $ ⇒BT≈7507,41\left ( { m } \right ) $. Do đó drone luôn cách radar một khoảng lớn hơn 584 mét.