Cho tam giác $ ABC $ với: $ A\left ( { 4;0;0 } \right ),B\left ( { 0;4;0 } \right ),C\left ( { 0;0;2 } \right ){ \rm{ } }. $ Bên trong tam giác có một lỗ tròn tâm $ M ^ { ′ } (1;1;1) $, bán kính $ r ^ { ′ } =1 $. Trong lỗ này đặt một quả cầu $ K $ bán kính $ r=\sqrt[] { 10 } $. Tâm của quả cầu $ K $ là $ M\left ( { a;b;c } \right )\left ( { a,b,c>0 } \right ) $. Tính $ a+b-c $

Mặt phẳng tam giác $ ABC $: $ (ABC):\frac { x } { 4 }+\frac { y } { 4 }+\frac { z } { 2 }=1⇔x+y+2z-4=0, $ véc tơ pháp tuyến $ n=(1;1;2) $. Trong mặt phẳng $ (ABC) $ có một vòng tròn tâm $ M ^ { ′ } (1,1,1) $, bán kính $ r ^ { ′ } =1 $. Quả cầu $ K $ bán kính $ r=\sqrt[] { 10 } $ cắt $ (ABC) $ theo vòng tròn ấy, nên tâm $ M $ của cầu cách $ (ABC) $ một khoảng $ d=\sqrt[] { r ^ { 2 } -\left ( { r ^ { ′ } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 10-1 }=3 $ và $ M $ nằm trên đường thẳng $ d $ vuông góc $ (ABC) $ qua $ M ^ { ′ } $. Phương trình đường thẳng $ d:\left \{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=1+1 \\ z=1+2t \end{array} \right.,(t\in \mathbb{R}) $ Khi đó: $ d\left ( { M,(ABC) } \right )=\frac { \left | { 1+t+1+t+2(1+2t)-4 } \right | } { \sqrt[] { 6 } }=\frac { \left | { 6t } \right | } { \sqrt[] { 6 } }=3⇒t=±\frac { 3 } { \sqrt[] { 6 } } $ Do đó $ M=\left ( { 1+\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 };1+\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 };1+\sqrt[] { 6 } } \right ) $