Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $. Một trạm kiểm soát không gian trên Trái Đất cần tính toán vị trí của một vệ tinh viễn thông $ S $ dang di chuyển trong không gian. Vệ tinh này truyền tín hiệu đến ba trạm thu sóng trên mặt đất có tọa độ $ A\left ( { 3;-2;5 } \right ),B\left ( { -1;4;-3 } \right ),C\left ( { 6;1;2 } \right ) $. Vệ tinh $ S\left ( { x,y,z } \right ) $ luôn nằm trên một mặt cầu cố định do ảnh hưởng của từ trường hấp dẫn. Phương trình mặt cầu mô tả quỹ đạo vệ tinh là $ \left ( { T } \right ):(x-1) ^ { 2 } +(y+2) ^ { 2 } +(z-3) ^ { 2 } =1 $. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Sai. $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { -4;6;-8 } \right ),\overset\rightarrow { AC }=\left ( { 3;3;-3 } \right ) \\ \overset\rightarrow { n }_{ \left ( { ABC } \right ) } =\left ( { -1;6;5 } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ):-\left ( { x-3 } \right )+6\left ( { y+2 } \right )+5\left ( { z-5 } \right )=0⇔-x+6y+5z-10=0 $. Phương trình đường thẳng đi qua tâm I của mặt cầu và vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là $ \left \{ \begin{array}{l} x=1-t \\ y=-2+6t \\ z=3+5t \end{array} \right.,t\in \mathbb{R} $ Ta giải phương trình sau để tìm giao điểm của đường thẳng trên với mặt cầu $ (-t) ^ { 2 } +(6t) ^ { 2 } +(5t) ^ { 2 } =1⇔62t ^ { 2 } =1⇔t=±\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } } $. Vậy có hai giao điểm là $ M\left ( { 1+\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } };-2-6\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } };3-5\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } } } \right );N\left ( { 1-\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } };-2+6\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } };3+5\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } } } \right ) $ Khoảng cách từ tâm $ I\left ( { 1;-2;3 } \right ) $ đến mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là $ d\left ( { I;\left ( { ABC } \right ) } \right )=\frac { \left | { -1+6\left ( { -2 } \right )+5.3-10 } \right | } { \sqrt[] { 62 } }=\frac { 8 } { \sqrt[] { 62 } }≈1,016 $. $ d\left ( { M;\left ( { ABC } \right ) } \right )=\frac { \left | { -1-\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } }+6\left ( { -2-6\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } } } \right )+5\left ( { 3-5\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } } } \right )-10 } \right | } { \sqrt[] { 62 } }=\frac { \left | { 8-\sqrt[] { 62 } } \right | } { \sqrt[] { 62 } }≈0,016 $ $ d\left ( { N;\left ( { ABC } \right ) } \right )=\frac { \left | { -1+\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } }+6\left ( { -2+6\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } } } \right )+5\left ( { 3+5\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } } } \right )-10 } \right | } { \sqrt[] { 62 } }=\frac { \left | { 8+\sqrt[] { 62 } } \right | } { \sqrt[] { 62 } }≈2,016 $ Vậy M là vị trí thấp nhất và N là vị trí cao nhất. Ta có $ \overset\rightarrow { AM }=\left ( { \sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } }-2;-6\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } };-2-5\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } } } \right ) $ $ \sin\theta =\frac { \left | { -\left ( { \sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } }-2 } \right )+6\left ( { -6\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } } } \right )+5\left ( { -2-5\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } } } \right ) } \right | } { \sqrt[] { 62 }\sqrt[] { \left ( { \sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } }-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -6\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -2-5\sqrt[] { \frac { 1 } { 62 } } } \right ) ^ { 2 } } } $ $ \theta ≈37 ^ { 0 } $ b) Sai c) Sai. $ \frac { x-5 } { 2 }=\frac { y+3 } { -1 }=\frac { z-2 } { 4 }⇒\left \{ \begin{array}{l} x=5+2t \\ y=-3-t \\ z=2+4t \end{array} \right. $. Thay vào phương trình mặt cầu, ta có $ (4+2t) ^ { 2 } +(-1-t) ^ { 2 } +(-1+4t) ^ { 2 } =1⇔21t ^ { 2 } +10t+17=0 $ Phương trình này vô nghiệm nên đường thẳng không cắt mặt cầu. d) Đúng