Tại lễ Tri ân và trưởng thành của học sinh khối 12 của một trường THPT CPV. Kết thúc buổi lễ, một học sinh khối 12 đại diện cho các bạn thả một khinh khí cầu. Trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị ứng với 1m, khinh khí cầu đang ở vị trí có phương trình là $(S): (x-1)^{2} + (y-2)^{2} + (z-10)^{2} = 2$. Cùng thời điểm đó có ba chiếc flycam $A, B, C$ tạo thành một tam giác $ABC$ có ba cạnh tiếp xúc với mặt cầu $(S)$, biết rằng mặt phẳng $(ABC)$ song song với mặt phẳng $(P): 2x - y + 2z - 17 = 0$ và có phương trình dạng $2x + ay + bz + c = 0$. Tổng giá trị của $T = a + b + c$ bằng bao nhiêu?

Lời giải Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; 2; 10)$ và bán kính $R = \sqrt{2}$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ (là giao tuyến của $(ABC)$ và $(S)$). Tam giác $ABC$ có ba cạnh $3m, 4m, 5m$ nên là tam giác vuông. Diện tích $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$. Nửa chu vi $p = \frac{3+4+5}{2} = 6$. Bán kính đường tròn nội tiếp $r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{6}{6} = 1$. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là $d = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{2 - 1} = 1$. Mặt phẳng $(ABC)$ song song với $(P): 2x - y + 2z - 17 = 0$ nên có dạng $2x - y + 2z + c = 0$. $$ d(I, (ABC)) = 1 \Leftrightarrow \frac{|2(1) - 2 + 2(10) + c|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + 2^{2}}} = 1 $$ $$ \frac{|20 + c|}{3} = 1 \Leftrightarrow |20 + c| = 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} c = -17 \quad (\text{loại, trùng với } (P)) \\ c = -23 \end{array} \right. $$ Vậy phương trình $(ABC)$ là $2x - y + 2z - 23 = 0$. Suy ra $a = -1, b = 2, c = -23$. Tổng $T = a + b + c = -1 + 2 - 23 = -22$.