(Sở Kiên Giang 2025) Trong không gian với hệ trục toạ độ $ Oxyz $ (đơn vị trên mỗi trục tính bằng mét), một trạm phát sóng wifi được đặt ở vị trí $ I $, phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sóng là $ \left ( { S } \right ):\left ( { x+10 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-5 } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } =2500 $. Anh Sơn di chuyển thẳng từ vị trí $ A\left ( { 125;70;0 } \right ) $ đến vị trí $ B\left ( { 25;-10;0 } \right ) $ với vận tốc không đổi là $ 1,2m/s $.

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Tâm mặt cầu $ \left ( { S } ight ) $có tọa độ là $ \left ( { -10;5;0 } ight ) $. Đúng. b. Vị trí $ B $ nằm ngoài vùng phủ sóng. Sai. c. Đường thẳng $ AB $ có phương trình tham số là $ \left \{ \begin{array}{l} x=25-5t \ y=-10+4t \ z=0 \end{array} ight.,\left ( { t\in R } ight ) $. Sai. d. Thời gian ngắn nhất để anh Sơn đến được vùng phủ sóng của trạm này là $ 83 $ giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Sai. Lời giải: a) Đúng. Phương trình mặt cầu $(S): (x+10)^2 + (y-5)^2 + z^2 = 2500$ có tâm $I(-10; 5; 0)$ và bán kính $R=50$. b) Sai. Ta có $IB^2 = (25 - (-10))^2 + (-10 - 5)^2 + 0^2 = 35^2 + (-15)^2 = 1225 + 225 = 1450 < 2500$ nên B nằm trong vùng phủ sóng. c) Sai. Ta có $\vec{AB} = (-100; -80; 0) = -20(5; 4; 0)$. Phương trình đường thẳng đi qua $B(25; -10; 0)$ có VTCP $\vec{u} = (5; 4; 0)$ là: $\begin{cases} x=25+5t \ y=-10+4t \ z=0 \end{cases}$. d) Sai. Gọi $M$ là giao điểm của $AB$ với mặt cầu. Giải hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu ta tìm được giao điểm $M_1$ gần $A$ nhất với khoảng cách $AM_1 \approx 109m$. Thời gian $t = \frac{109}{1,2} \approx 91s$.

Cùng dạng: Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng, mặt phẳng với mặt cầu