(Cụm Tiền Giang 2025) Một nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu ( mặt đầu sóng là mặt cầu). Khi gắn hệ trục tọa độ $ Oxyz $với đơn vị trên mỗi trục là mét, vị trí nguồn âm có tọa độ $ \left ( { 0;-3;-1 } \right ) $, cường độ âm chuẩn phát ra có bán kính là $ 10 $mét. Một bạn học sinh di chuyển theo phương thẳng từ vị trí $ N\left ( { 7;10;-4 } \right ) $đến vị trí $ M\left ( { 5;0;2 } \right ) $ để nhận nguồn âm. Khi bạn học sinh đó di chuyển từ N đến M thì vị trí đầu tiên nhận được nguồn âm là $ A\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } ;z_{ 0 } } \right ) $.Tính tổng $ x_{ 0 } +y_{ 0 } +z_{ 0 } $.

Phương trình mặt cầu mô tả sóng âm phát ra từ nguồn âm là $ \left ( { S } \right ):\,\,x ^ { 2 } +\left ( { y+3 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z+1 } \right ) ^ { 2 } =100 $ $ \overset\rightarrow { NM }=\left ( { -2;-10;6 } \right ) $, phương trình đường thẳng MN là $ \left \{ \begin{array}{l} x=7-t \\ y=10-5t \\ z=-4+3t \end{array} \right.,\,\,t\in \mathbb{R}. $ Tọa độ giao điểm của mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $và đường thẳng MN là nghiệm của hệ $ \left \{ \begin{array}{l} x=7-t \\ y=10-5t \\ z=-4+3t \\ x ^ { 2 } +\left ( { y+3 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z+1 } \right ) ^ { 2 } =100 \end{array} \right.\, \\ \,⇒\left ( { 7-t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 13-5t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -3+3t } \right ) ^ { 2 } =100 \\ ⇔35\,t ^ { 2 } -162t+127=0⇔\left[ \begin{array}{l} t=1 \\ t=\frac { 127 } { 35 } \end{array} \right.⇒\left[ \begin{array}{l} A_{ 1 } \left ( { 6;5;-1 } \right ) \\ A_{ 2 } \left ( { \frac { 118 } { 35 };-\frac { 57 } { 7 };\frac { 241 } { 35 } } \right ) \end{array} \right. $, ứng với $ t=1 $ và $ t=\frac { 127 } { 35 } $. Các giao điểm là $ A_{ 1 } \left ( { 6;5;-1 } \right ) $ và $ A_{ 2 } \left ( { \frac { 118 } { 35 };-\frac { 57 } { 7 };\frac { 241 } { 35 } } \right ) $. Vì bạn học sinh di chuyển từ $ N $ (ứng với $ t=0 $) đến $ M $ (ứng với $ t=2 $) nên vị trí đầu tiên nhận được nguồn âm ứng với giá trị $ t $ nhỏ nhất thuộc đoạn $ \left[ { 0;2 } \right] $, tức là $ t=1 $, cho $ A\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } ;z_{ 0 } } \right )=A_{ 1 } \left ( { 6;5;-1 } \right ) $. Vậy $ x_{ 0 } +y_{ 0 } +z_{ 0 } =6+5+\left ( { -1 } \right )=10 $.