(THPT Sóc Sơn - Hà Nội 2025) Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Một rađa có thể phát hiện các mục tiêu trong khu vực của một hình chỏm cầu với chiều rộng trên mặt đất là một hình tròn với bán kính $ 450 $ km và chiều cao $ 30 $km. Chọn hệ trục tọa độ $ Oxyz $ với mặt phẳng $ Oxy $ là mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng), trục $ Oz $ hướng lên cao và gốc tọa độ $ O $ trùng với vị trí của rađa (tham khảo hình vẽ bên), mỗi đơn vị trên trục là $ 1 $ km. Một tên lửa được phóng lên cao, bắt đầu từ vị trí $ A\left ( { 30;-780;60 } \right ) $, dự định bay thẳng với vận tốc không đổi $ 7 $km/ giây hướng thẳng đến vị trí của rađa. Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rađa phát hiện đến khi nó bắn trúng rađa là bao nhiêu giây? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Giả sử trục $ Oz $ cắt mặt cầu tại điểm $ B\left ( { 0;0;30 } \right ) $; trục $ Oy $ cắt mặt cầu tại điểm $ C\left ( { 0;450;0 } \right ) $như hình vẽ. Gọi mặt cầu là $ \left ( { S } \right ) $ và có tâm là $ I\left ( { 0;0;a } \right ) $với $ a < 0 $. Ta có $ IB ^ { 2 } =IC ^ { 2 } ⇔\left ( { 30-a } \right ) ^ { 2 } =450 ^ { 2 } +a ^ { 2 } ⇔a=-3360 $. Suy ra mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có tâm $ I\left ( { 0;0;-3360 } \right ) $ và $ R=3390 $ nên có phương trình là $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +\left ( { z+3360 } \right ) ^ { 2 } =3390 ^ { 2 } $. Đường thẳng $ AO $ có phương trình là $ \left \{ \begin{array}{l} x=-30t \\ y=780t \\ z=-60t \end{array} \right. $. Thay $ x=-30t;\,y=780t;\,z=-60t $vào phương trình mặt cầu ta được $ \left ( { -30t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 780t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -60t+3360 } \right ) ^ { 2 } =3390 ^ { 2 } ⇔681t ^ { 2 } -448t-225=0⇔\left[ \begin{array}{l} t=-\frac { 1 } { 3 } \\ t=\frac { 225 } { 227 } \end{array} \right. $. Khi đó đường thẳng $ AO $ cắt mặt cầu tại 2 điểm ứng với $ t=-\frac { 1 } { 3 } $ và $ t=\frac { 225 } { 227 } $. Do điểm $ A $ ứng với $ t=-1 $ và rađa (gốc $ O $) ứng với $ t=0 $ nên trên đoạn đường bay từ $ A $ đến $ O $ (ứng với $ t\in \left[ { -1;0 } \right] $), tên lửa chỉ cắt mặt cầu tại điểm ứng với $ t=-\frac { 1 } { 3 } $ (điểm còn lại ứng với $ t=\frac { 225 } { 227 } $ nằm ngoài đoạn này). Đây chính là vị trí tên lửa bắt đầu bị rađa phát hiện. Khoảng cách từ vị trí bị phát hiện đến rađa là $ \left| { 0-\left ( { -\frac { 1 } { 3 } } \right ) } \right |\cdot \sqrt[] { 30 ^ { 2 } +780 ^ { 2 } +60 ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 3 }\sqrt[] { 612900 }≈260,96{ \rm{ km } } $. Vậy thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rađa phát hiện đến khi nó bắn trúng rađa là $ \frac { 260,96 } { 7 }≈37 $ (giây).