(Sở Tiền Giang 2025) Trong trong không gian Oxyz, bề mặt Trái Đất có phương trình: $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =1 $.(1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6 371 krn trên thực tế); vị trí P có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $ \alpha °N,\,\beta °E\left ( { 0 < \alpha < 90,\,0 < \beta < 180 } \right ) $ có toạ độ $ P\left ( { \cos\alpha °\cos\beta °;\,\cos\alpha °\sin\beta °;\,\sin\alpha ° } \right ) $. Ứng dụng Google Maps cho phép xác định khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất khi biết vĩ độ và kinh độ của chúng. Khoảng cách giữa hai vị trí P và Q trên bề mặt Trái Đất là độ dài cung nhỏ PQ của đường tròn có tâm O và đi qua hai điểm P, Q. Tính khoảng cách trên mặt đất giữa hồ Hoàn Kiếm (Hà Nội) ở vị trí $ 21°02'N,\,105°51'E $ và đảo Trường Sa ở vị trí $ 8°39'N,111°56'E $(đơn vị: km, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Gọi P và Q lần lượt là vị trí tương ứng với hồ Hoàn Kiếm và đảo Trường Sa Ta có $ P\left ( { \cos21°02'\cos105°51';\cos21°02'\sin105°51';\sin21°02' } \right ) $, $ Q\left ( { \cos8°39'\cos111°56';\cos8°39'\cos111°56';\sin8°39' } \right ) $ Suy ra $ \overset\rightarrow { OP }=\left ( { \cos21°02'\cos105°51';\cos21°02'\sin105°51';\sin21°02' } \right ) $, $ \overset\rightarrow { OQ }=\left ( { \cos8°39'\cos111°56';\cos8°39'\cos111°56';\sin8°39' } \right ) $. Do đó $ \overset\rightarrow { OP }.\overset\rightarrow { OQ }≈0,9715384942 $ vì P, Q thuộc mặt đất nên $ \left | { \overset\rightarrow { OP } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { OQ } } \right |=1 $ Do đó $ \cos \widehat { POQ }=\frac { \overset\rightarrow { OP }.\overset\rightarrow { OQ } } { \left | { \overset\rightarrow { OP } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { OQ } } \right | }≈0,97154 $. Suy ra $ \widehat { POQ }≈13,70257035° $ Mặt khác, mặt cầu tâm O, đi qua P, Q có bán kính 1 nên cung nhỏ $ \overset ⌢ { PQ } $ của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng $ \frac { 13,70257035\pi } { 180 }≈0,2391549686 $. Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6 371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đát giữa hai vị trí P, Q xấp xỉ bằng $ 0,2391549686⋅6371=1523,656305≈1524 $(km).