Trong không gian với hệ trục toạ độ $ Oxyz $ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay ở vị trí $ O(0;0;0) $ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $ 500 $ km. Một máy bay đang ở vị trí $ A\left ( { -1000;-185;30 } \right ) $ và chuyển động với vận tốc không đổi theo quỹ đạo là đường thẳng $ d $ có vectơ chỉ phương $ u=(100;80;0). $ Tính khoảng cách từ vị trí $ A $ đến khi đài kiểm soát không lưu phát hiện được máy bay (đơn vị km, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Gọi $ M $ là giao điểm của đường thẳng $ d $ với mặt cầu $ (S) $ tâm $ O $ bán kính $ R=500{ \rm{ km. } } $ Khi đó, yêu cầu bài toán là tính độ dài đoạn $ AM. $ Ta có: $ (S):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =500 ^ { 2 } ,d:\left \{ \begin{array}{l} x=-1000+100t \\ y=-185+80t \\ z=30 \end{array} \right.⇒AM=20\sqrt[] { 41 }.t $ Tìm $ M: $ $ (-1000+100t) ^ { 2 } +(-185+80t) ^ { 2 } +30 ^ { 2 } =250000 \\ ⇔16400t ^ { 2 } -229600t+785125=0 \\ ⇔656t ^ { 2 } -9184t+31405=0 \\ ⇔\left[ \begin{array}{l} t=\frac { 1148+\sqrt[] { 30299 } } { 164 }⇒AM≈1032 \\ t=\frac { 1148-\sqrt[] { 30299 } } { 164 }⇒AM≈761 \end{array} \right. $ Vậy $ AM≈761{ \rm{ km. } } $