Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho $\vec{u} = (2; -1; 3)$, mặt phẳng $(P): x+2y-2z+5=0$ và mặt cầu $(S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y + 2z - 3 = 0$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; 2; -1)$. Đúng. b. Khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $\frac{7}{3}$. Sai. c. Gọi $\alpha$ là góc giữa giá của $\vec{u}$ và mặt phẳng $(P)$. Khi đó $\sin\alpha = \frac{\sqrt{14}}{7}$. Đúng. d. Gọi $M, N$ là hai điểm lần lượt thuộc mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$. Biết đường thẳng $MN$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}$. Khi đó giá trị lớn nhất của đoạn thẳng $MN$ bằng $\frac{7\sqrt{14}}{2}$. Đúng. Lời giải: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Lời giải $(S): (x-1)^{2} + (y-2)^{2} + (z+1)^{2} = 9$, tâm $I(1; 2; -1)$, $R=3$. $d(I, (P)) = \frac{|1 + 2(2) - 2(-1) + 5|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + (-2)^{2}}} = \frac{12}{3} = 4$. VTPT của $(P)$ là $\vec{n} = (1; 2; -2)$. Góc $\alpha$ giữa $\vec{u}$ và $(P)$ thỏa mãn $\sin\alpha = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{n}|} = \frac{|2-2-6|}{\sqrt{14}\cdot 3} = \frac{6}{3\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{7}$. $MN_{\max} = \frac{d(I, (P)) + R}{\sin\alpha} = \frac{4+3}{\frac{\sqrt{14}}{7}} = \frac{7 \cdot 7}{\sqrt{14}} = \frac{49}{\sqrt{14}} = \frac{7\sqrt{14}}{2}$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho $\vec{u} = (2; -1; 3)$, mặt phẳng $(P): x+2y-2z+5=0$ và mặt cầu $(S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y + 2z - 3 = 0$.

Cùng dạng: Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng, mặt phẳng với mặt cầu