(THPT Lê Thánh Tông - HCM 2025) Vào rạng sáng ngày 1/1/2025, hệ thống phòng thủ hành tinh phát hiện một thiên thạch lớn có tên là 2025-XH3 đang di chuyển từ vị trí $ A\left ( { -60;-45;-10 } \right ) $hướng đến vị trí $ B\left ( { -20;-15;0 } \right ) $ trong một hệ trục tọa độ $ Oxyz $ thích hợp (đơn vị: nghìn km). Các nhà khoa học từ trái đất cho rằng thiên thạch chuyển động thẳng đều và sẽ đến vị trí $ B $ vào rạng sáng ngày 19/1/2025. Giả sử bề mặt Trái Đất được mô hình hóa là một mặt cầu có phương trình $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =6,4 ^ { 2 } $.

a) Sai. Gọi $ d $ là đường thẳng mô tả hướng di chuyển của thiên thạch $ ⇒d $ có vecto chỉ phương là $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 40;30;10 } \right )⇒d $ có vecto chỉ phương $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 4;3;1 } \right ) $. $ d $ đi qua điểm $ A\left ( { -60;-45;-10 } \right )⇒d:\left \{ \begin{array}{l} x=-60+4t \\ y=-45+3t \\ z=-10+t \end{array} \right. $. b) Đúng. Trái Đất được mô hình hóa là một mặt cầu có phương trình $ \left ( { S } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =6,4 ^ { 2 } $. $ ⇒\left ( { S } \right ) $ có tâm là $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $ và bán kính $ R=6,4 $ nghìn km. $ \left \{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { OA }=\left ( { -60;-45;-10 } \right ) \\ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 4;3;1 } \right ) \end{array} \right.⇒\left[ \overset\rightarrow { OA },\overset\rightarrow { u } \right]=\left ( { -15;20;0 } \right ) $. $ ⇒d\left ( { O,d } \right )=\frac { \left | { \left[ \overset\rightarrow { OA },\overset\rightarrow { u } \right] } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { u } } \right | }=\frac { \sqrt[] { \left ( { -15 } \right ) ^ { 2 } +20 ^ { 2 } } } { \sqrt[] { 4 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=\frac { 25 } { \sqrt[] { 26 } }≈4,9 < 6,4=R $. Do đó đường thẳng $ d $ cắt mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $, tức là nếu không có gì thay đổi thì thiên thạch sẽ va vào Trái Đất. c) Đúng. Tọa độ giao điểm của $ d $ và $ \left ( { S } \right ) $ là nghiệm của phương trình: $ \left ( { -60+4t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -45+3t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -10+t } \right ) ^ { 2 } =6,4 ^ { 2 } ⇔26t ^ { 2 } -770t+5725=40,96⇔26t ^ { 2 } -770t+5684,04=0 $ $ ⇔\left[\begin{array}{l} t≈14,001 \\ t≈15,614 \end{array}\right. $. Vì thiên thạch di chuyển từ $ A $ ($ t=0 $) qua $ B $ ($ t=10 $) nên vị trí va chạm đầu tiên ứng với $ t≈14,001 $. Khoảng cách từ $ A $ đến vị trí va chạm là $ AC=t.\left | { \overset\rightarrow { u } } \right |≈14,001.\sqrt[] { 26 }≈71,4 $ (nghìn km). Vậy vị trí va chạm dự kiến cách điểm $ A $ một khoảng khoảng $ 71,4 $ nghìn km. d) Sai. Ta có $ OB=\sqrt[] { \left ( { -20 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -15 } \right ) ^ { 2 } }=25 $ (nghìn km); mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có bán kính $ R=6,4 $ (nghìn km). Vì $ BE $ là tiếp tuyến của mặt cầu tại $ E $ nên $ BE=\sqrt[] { OB ^ { 2 } -R ^ { 2 } }=\sqrt[] { 625-40,96 }=\sqrt[] { 584,04 }≈24,17 $ (nghìn km). Thời gian tên lửa bay từ $ E $ đến $ B $ là $ \frac { BE } { 2,5 }≈9,67 $ (ngày). Vì thiên thạch đến $ B $ vào rạng sáng ngày $ 19/1/2025 $ nên tên lửa phải được phóng vào khoảng ngày $ 19-9,67≈9,3 $, tức là ngày $ 9/1/2025 $, không phải ngày $ 11/1/2025 $. Vậy khẳng định d) là Sai.