Trong một tiết thực hành về quan sát quả địa cầu có một nhóm học sinh cầm một quả địa cầu sao cho nó không chạm vào mặt bàn. Trên mặt bàn có một tờ giấy hình tam giác$ ABC $. Xét trong không gian $ Oxyz $, tam giác$ ABC $ có $ A\left ( { 3;0;0 } \right ),B\left ( { 0;5;0 } \right ),C\left ( { 0;5;1 } \right ) $. Giả sữ bề mặt quả địa cầu là mặt cầu $ \left ( { S } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +\left ( { z-3 } \right ) ^ { 2 } =\frac { 49 } { 20 } $. Cô giáo khẳng định trên quả địa cầu $ \left ( { S } \right ) $ tồn tại duy nhất một điểm $ M\left ( { a;b;c } \right ) $ sao cho biểu thức $ T=MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } $ đạt giá trị lớn nhất và yêu cầu nhóm học sinh đó đi tìm điểm $ M $ nêu trên. Tổng $ a+b+c $ bằng bao nhiêu?(Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

+ Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác$ ABC $ ta có $ G\left ( { 1;\frac { 10 } { 3 };\frac { 1 } { 3 } } \right ) $ khi đó: $ T=MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } =GA ^ { 2 } +GB ^ { 2 } +GC ^ { 2 } +3MG ^ { 2 } $. Do đó biểu thức $ T=MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } +MC ^ { 2 } $ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $ GM $ lớn nhất. + Ta có $ \overset\rightarrow { IG }=\frac { 1 } { 3 }\left ( { 3;10;-8 } \right ) $ trong đó $ I\left ( { 0;0;3 } \right ) $ là tâm mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $. Khi đó đường thẳng $ IG:\left \{ \begin{array}{l} x=3t \\ y=10t \\ z=3-8t \end{array} \right. $ + Thay $ x=3t;y=10t;z=3-8t $ vào phương trình mặt cầu ta có $ t=±\frac { 7 } { \sqrt[] { 3460 } } $. Hay đường thẳng $ IG $ cắt mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ tại hai điểm $ M_{ 1 } \left ( { \frac { 21 } { \sqrt[] { 3460 } };\frac { 70 } { \sqrt[] { 3460 } };3-\frac { 56 } { \sqrt[] { 3460 } } } \right ),M_{ 2 } \left ( { \frac { -21 } { \sqrt[] { 3460 } };\frac { -70 } { \sqrt[] { 3460 } };3+\frac { 56 } { \sqrt[] { 3460 } } } \right ) $. + Dễ thấy $ \overset\rightarrow { IG };\overset\rightarrow { IM_{ 1 } } $ cùng hướng nên $ GM $ lớn nhất khi $ M≡M_{ 2 } $ hay $ M\left ( { \frac { -21 } { \sqrt[] { 3460 } };\frac { -70 } { \sqrt[] { 3460 } };3+\frac { 56 } { \sqrt[] { 3460 } } } \right ) $. Khi đó $ a+b+c=\frac { -21-70+56 } { \sqrt[] { 3460 } }+3≈2,40 $.