Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\sqrt{5-m\sin x-\left( m+1 \right)\cos x}$ xác định trên $\mathbb{R}$.

Question

DẠNG 1. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. Với hàm số $f\left( x ight)$ cho bởi biểu thức đại số thì ta có: 1. $f\left( x ight)=\frac{f_{1}\left( x ight)}{f_{2}\left( x ight) }$, điều kiện: * $f_{1}\left( x ight)$ có nghĩa * $f_{2}\left( x ight)$ có nghĩa và $f_{2}\left( x ight)
eq 0$. 2. $f\left( x ight)=\sqrt[2m]{f_{1}\left( x ight) },\left( m\in \mathbb{N} ight)$, điều kiện: $f_{1}\left( x ight)$ có nghĩa và $f_{1}\left( x ight)\geq 0$. 3. $f\left( x ight)=\frac{f_{1}\left( x ight)}{\sqrt[2m]{f_{2}\left( x ight) } },\left( m\in \mathbb{N} ight)$, điều kiện: $f_{1}\left( x ight),f_{2}\left( x ight)$ có nghĩa và $f_{2}\left( x ight)>0$. B. Hàm số $y=\sin x;y=\cos x$ xác định trên $\mathbb{R}$, như vậy $y=\sin \left[ u\left( x ight) ight];y=\cos \left[ u\left( x ight) ight]$ xác định khi và chỉ khi $u\left( x ight)$ xác định. * $y=	an \left[ u\left( x ight) ight]$ có nghĩa khi và chỉ khi $u\left( x ight)$ xác định và $u\left( x ight)
eq \frac{\pi}{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$. * $y=\cot \left[ u\left( x ight) ight]$ có nghĩa khi và chỉ khi $u\left( x ight)$ xác định và $u\left( x ight)
eq +k\pi ;k\in \mathbb{Z}$. Chú ý Ở phần này chúng ta chỉ cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau: 1. Hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ xác định trên $\mathbb{R}$. 2. Hàm số $y=	an x$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} \frac{\pi}{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \end{array} ight\}$. 3. Hàm số $y=\cot x$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \end{array} ight\}$. C. Dạng chứa tham số trong bài toán liên quan đến tập xác định của hàm sô lượng giác. Với $S\subset D_{f}$ (là tập xác định của hàm số $f\left( x ight)$) thì $* f\left( x ight)\leq m,\forall x\in S\Leftrightarrow \mathop{\max}\limits_{S}f\left( x ight)\leq m$. $* f\left( x ight)\geq m,\forall x\in S\Leftrightarrow \mathop{\min}\limits_{S}f\left( x ight)\geq m$. $* \exists x_{0}\in S,f\left( x_{0}ight)\leq m\Leftrightarrow \mathop{\min}\limits_{S}f\left( x ight)\leq m$ $* \exists x_{0}\in S,f\left( x_{0}ight)\geq m\Leftrightarrow \mathop{\max}\limits_{S}f\left( x ight)\geq m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\sqrt{5-m\sin x-\left( m+1 ight)\cos x}$ xác định trên $\mathbb{R}$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ khi chỉ khi: $5-m\sin x-\left( m+1 \right)\cos x\geq 0\,,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\sin x+\left( m+1 \right)\cos x\leq 5\,,\,\forall x\in \mathbb{R}$. $\Leftrightarrow \frac{m}{\sqrt{m^{2}+\left( m+1 \right)^{2}}}\sin x+\frac{m+1}{\sqrt{m^{2}+\left( m+1 \right)^{2}}}\cos x\leq \frac{5}{\sqrt{m^{2}+\left( m+1 \right)^{2}}}\,,\,\forall x\in \mathbb{R}$. $\Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha \right)\leq \frac{5}{\sqrt{m^{2}+\left( m+1 \right)^{2}}}\,,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{5}{\sqrt{2m^{2}+2m+1}}\geq 1\Leftrightarrow \sqrt{2m^{2}+2m+1}\leq 5.$ $\Leftrightarrow 2m^{2}+2m-24\leq 0\Leftrightarrow -4\leq m\leq 3$. Mà $m\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow m\in \left\{ -4;-3\,;\,-2;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\, \right\}$.

Bài tập nâng cao Hàm số lượng giác · Bài 4