Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 1

a) Theo quy tắc ba điểm ta có
$\overrightarrow{AN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{NM}$
$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}\right|=MN=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$.
b) Theo quy tắc trừ ta có
$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AM}$
$\Rightarrow \left|\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{MN}\right|=AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
c) Gọi F là điểm đối xứng của A qua C, điểm E là đỉnh của hình bình hành ABEF.
Theo quy tắc hình bình hành ta có
$\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}$.
Gọi I là hình chiếu của E lên $AC$.
Vì $AB \parallel EF \Rightarrow \widehat{IFE}=\widehat{CAB}=60^\circ$.
$\sin \widehat{IFE}=\frac{IE}{EF}\Rightarrow IE=EF\sin \widehat{IFE}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$\cos \widehat{IFE}=\frac{IF}{EF}\Rightarrow IF=EF\cos \widehat{IFE}=a\cos 60^\circ=\frac{a}{2}$.
Áp dụng định lí Pitago ta có: $AE=\sqrt{AI^2+IE^2}=\sqrt{\left(2a+\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{28}}{2}$.
Suy ra $\left|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right|=AE=\frac{a\sqrt{28}}{2}$.
d) Lấy các điểm $H, K$ sao cho $\frac{1}{4}\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MH};\ \frac{3}{2}\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MK}$.
Suy ra $\frac{1}{4}\overrightarrow{MA}-\frac{3}{2}\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MH}-\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{KH}$.
Do đó $\left|\frac{1}{4}\overrightarrow{MA}-\frac{3}{2}\overrightarrow{MB}\right|=KH=\sqrt{\left(\frac{AM}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{2}MB\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{8}\right)^2+\left(\frac{3a}{4}\right)^2}=\frac{a\sqrt{39}}{8}$.