Bài tập nâng cao · Bài 5
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 5
Có bao nhiêu cách xếp ngẫu nhiên 8 học sinh gồm 4 học sinh nam (trong đó có Việt) và 4 học sinh nữ (trong đó có An) thành một hàng ngang sao cho trong 8 học sinh trên không có hai học sinh cùng giới đứng cạnh nhau, đồng thời Việt và An cũng không đứng cạnh nhau?
Xem lời giải
Lời giải
Giả sử có 8 vị trí kề nhau thành một hàng ngang.
Chọn vị trí chẵn hoặc lẻ để xếp 4 nam: có 2 cách.
Ta xét trường hợp 4 nam ở vị trí chẵn (tương tự cho vị trí lẻ).
• TH1. Việt đứng ngoài cùng: có 1 cách.
Xếp An không cạnh Việt: có 3 cách.
Đổi vị trí các nam: có $3!$ cách; đổi vị trí các nữ: $3!$ cách.
Do đó, trong trường hợp này có $2\cdot 1\cdot 3\cdot 3!\cdot 3!=216$ cách.
• TH2. Việt không đứng ngoài cùng: có 3 cách.
Xếp An không cạnh Việt (bỏ 2 vị trí cạnh Việt): có 2 cách.
Đổi vị trí các nam: có $3!$ cách; đổi vị trí các nữ: $3!$ cách.
Do đó, trong trường hợp này có $2\cdot 3\cdot 2\cdot 3!\cdot 3!=432$ cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $216+432=648$.
Chọn vị trí chẵn hoặc lẻ để xếp 4 nam: có 2 cách.
Ta xét trường hợp 4 nam ở vị trí chẵn (tương tự cho vị trí lẻ).
• TH1. Việt đứng ngoài cùng: có 1 cách.
Xếp An không cạnh Việt: có 3 cách.
Đổi vị trí các nam: có $3!$ cách; đổi vị trí các nữ: $3!$ cách.
Do đó, trong trường hợp này có $2\cdot 1\cdot 3\cdot 3!\cdot 3!=216$ cách.
• TH2. Việt không đứng ngoài cùng: có 3 cách.
Xếp An không cạnh Việt (bỏ 2 vị trí cạnh Việt): có 2 cách.
Đổi vị trí các nam: có $3!$ cách; đổi vị trí các nữ: $3!$ cách.
Do đó, trong trường hợp này có $2\cdot 3\cdot 2\cdot 3!\cdot 3!=432$ cách.
Suy ra số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $216+432=648$.