(HSG Vũng Tàu 2025) Cho hàm số $ y=\frac { x ^ { 2 } +3x-8 } { x-2 }{ \rm{ } }(1) $ và đường tròn $ (C):\left ( { x+3 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } =4 $. Gọi I là tâm đường tròn (C).

a) Hàm số (1) có đạo hàm $ y'=\frac { x ^ { 2 } -4x+2 } { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } } $ $ y'=0⇔\frac { x ^ { 2 } -4x+2 } { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } }=0⇔x=2±\sqrt[] { 2 } $ Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số (1) đồng biến trên $ \left ( { -\infty ;0 } \right ) $ nên a) Đúng b) $ y\left ( { 3 } \right )=10,y\left ( { 5 } \right )=\frac { 32 } { 3 },y\left ( { 2+\sqrt[] { 2 } } \right )=7+2\sqrt[] { 2 } $ Do đó GTNN của hàm số (1) trên đoạn $ \left[ 3;5 \right] $ bằng $ 7+2\sqrt[] { 2 } $ nên b) Đúng c) $ y=\frac { x ^ { 2 } +3x-8 } { x-2 }=x+5+\frac { 2 } { x-2 } $ suy ra hàm số có TCĐ là $ x=2{ \rm{ } }(d_{ 1 } ) $ và TCX là $ y=x+5{ \rm{ } }(d_{ 2 } ) $ Đường tròn (C) có tâm $ I\left ( { -3,1 } \right ) $ nên $ d=d\left ( { I,d_{ 1 } } \right )+d\left ( { I,d_{ 2 } } \right )=5+\frac { \left | { -3-1+5 } \right | } { \sqrt[] { 1+1 } }=\frac { 10+\sqrt[] { 2 } } { 2 } $ Nên c) Sai d) Hai điểm cực trị của hàm số (1) là $ A\left ( { 2-\sqrt[] { 2 },7-2\sqrt[] { 2 } } \right ),B\left ( { 2+\sqrt[] { 2 },7+2\sqrt[] { 2 } } \right ) $ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị trên là $ y=2x+3{ \rm{ } }\left ( { Δ } \right ) $ Hoành độ giao điểm của đường thẳng $ \left ( { Δ } \right ) $ và đường tròn (C) là nghiệm của phương trình $ \left ( { x+3 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2x+3-1 } \right ) ^ { 2 } =4⇔x=-1,x=-\frac { 9 } { 5 }⇒M\left ( { -1;1 } \right ),N\left ( { -\frac { 9 } { 5 };-\frac { 3 } { 5 } } \right ) $ Ta có $ \overset\rightarrow { IM }=\left ( { 2;0 } \right ) $ và $ \overset\rightarrow { IN }=\left ( { \frac { 6 } { 5 };-\frac { 8 } { 5 } } \right ) $ nên $ S_{ IMN } =\frac { 1 } { 2 }.\sqrt[] { \overset\rightarrow { IN } ^ { 2 } .\overset\rightarrow { IM } ^ { 2 } -\left ( { \overset\rightarrow { IN }.\overset\rightarrow { IM } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 2 }.\sqrt[] { 4.4-\left ( { \frac { 12 } { 5 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 8 } { 5 } $ Tương tự, với $ \overset\rightarrow { OM }=\left ( { -1;1 } \right ) $ và $ \overset\rightarrow { ON }=\left ( { -\frac { 9 } { 5 };-\frac { 3 } { 5 } } \right ) $ ta có $ S_{ OMN } =\frac { 1 } { 2 }.\left | { \left ( { -1 } \right ).\left ( { -\frac { 3 } { 5 } } \right )-\left ( { -\frac { 9 } { 5 } } \right ).1 } \right |=\frac { 6 } { 5 } $ Vì $ I $ và $ O $ nằm về hai phía của đường thẳng $ MN $ nên $ S_{ IMON } =S_{ IMN } +S_{ OMN } =\frac { 8 } { 5 }+\frac { 6 } { 5 }=\frac { 14 } { 5 } $ Vậy d) đúng.