Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AB \parallel CD$ và $AB = 2CD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Lấy $E$ thuộc cạnh $SA$, $F$ thuộc cạnh $SC$ sao cho $\frac{SE}{SA} = \frac{SF}{SC} = \frac{2}{3}$ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $O$ và song song với mặt phẳng $(BEF)$. Gọi $P$ là giao điểm của $SD$ với $(\alpha)$. Tính tỉ số $\frac{SP}{SD}$.

Lời giải Vì $\frac{SE}{SA} = \frac{SF}{SC} = \frac{2}{3}$ nên đường thẳng $EF \parallel AC$. Mà $EF \subset (BEF)$, $AC ot\subset (BEF)$ nên $AC$ song song với mặt phẳng $(BEF)$. Vì $AC$ qua $O$ và song song với mặt phẳng $(BEF)$ nên $AC \subset (\alpha)$. Trong $(SAC)$, gọi $I = SO \cap EF$, trong $(SBD)$, gọi $N = BI \cap SD$. Suy ra $N$ là giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $(BEF)$. Hai mặt phẳng song song $(BEF)$ và $(\alpha)$ bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba là $(SCD)$ theo hai giao tuyến lần lượt là $FN$ và $Ct$ nên hai giao tuyến đó song song nhau, tức là $Ct \parallel FN$. Trong $(SCD)$, $Ct$ cắt $SD$ tại $P$. Khi đó $P$ là giao điểm của $SD$ với $(\alpha)$. Trong hình thang $ABCD$, do $AB \parallel CD$ và $AB = 2CD$ nên: $$ \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD} = 2 \Rightarrow \frac{BO}{BD} = \frac{2}{3} $$ Trong tam giác $SAC$, có $EF \parallel AC$ nên: $$ \frac{SE}{SA} = \frac{SI}{SO} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{IS}{IO} = 2 $$ Xét tam giác $SOD$ với cát tuyến $NIB$, ta có: $\frac{NS}{ND} \cdot \frac{BD}{BO} \cdot \frac{IO}{IS} = 1 \Rightarrow \frac{NS}{ND} = \frac{BO}{BD} \cdot \frac{IS}{IO} = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}$. Suy ra $\frac{SN}{SD} = \frac{4}{7}$ (1). Lại có $\frac{SN}{SP} = \frac{SF}{SC} = \frac{2}{3}$ (do $CP \parallel FN$) (2). Từ (1) và (2) suy ra $\frac{SP}{SD} = \frac{6}{7}$.