Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, cho $ A\left ( { 1;2 } \right ) $ đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có phương trình $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +4y-5=0 $ và đường thẳng $ d:2x-y-1=0 $. a)

Lời giải a) SAI. Đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có tâm $ I\left ( { 0;-2 } \right ) $ và bán kính $ R=3 $. b) ĐÚNG. Tọa độ giao điểm của $ d $ và $ \left ( { C } \right ) $ là nghiệm hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} 2x-y-1=0 \\ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +4y-5=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 1 } { 2 }.\left ( { y+1 } \right ) \\ \frac { 1 } { 4 }.\left ( { y+1 } \right ) ^ { 2 } +y ^ { 2 } +4y-5=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 1 } { 2 }.\left ( { y+1 } \right ) \\ \frac { 5 } { 4 }y ^ { 2 } +\frac { 9 } { 2 }y-\frac { 19 } { 4 }=0 \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{l} x=\frac { -2+2\sqrt[] { 11 } } { 5 } \\ y=\frac { -9+4\sqrt[] { 11 } } { 5 } \end{array} \right. $ hoặc $ \left \{ \begin{array}{l} x=\frac { -2-2\sqrt[] { 11 } } { 5 } \\ y=\frac { -9-4\sqrt[] { 11 } } { 5 } \end{array} \right. $. Vậy $ d $ và $ \left ( { C } \right ) $ cắt nhau tại 2 điểm $ A,\,B $ có tọa độ là $ \left ( { \frac { -2+2\sqrt[] { 11 } } { 5 };\frac { -9+4\sqrt[] { 11 } } { 5 } } \right ),\left ( { \frac { -2-2\sqrt[] { 11 } } { 5 };\frac { -9-4\sqrt[] { 11 } } { 5 } } \right ) $. Khi đó: $ y_{ A } +y_{ B } =-3,6 $. c) ĐÚNG. Ta có: $ AB=\frac { 4\sqrt[] { 11 } } { \sqrt[] { 5 } } $ và $ d\left ( { I,AB } \right )=\frac { \left | { 2.0-\left ( { -2 } \right )-1 } \right | } { \sqrt[] { 2 ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 5 } } $. Suy ra: $ S_{ ΔIAB } =\frac { 1 } { 2 }AB.d\left ( { I,AB } \right )=\frac { 2\sqrt[] { 11 } } { 5 } $. d) ĐÚNG. Ta có: $ IA=IB=R=3 $. Gọi $ r $ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ IAB $. Khi đó: $ r=\frac { 2S_{ ΔIAB } } { IA+IB+AB }=\frac { 30\sqrt[] { 11 }-44\sqrt[] { 5 } } { 5 } $. Gọi $ J\left ( { a;b } \right ) $ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ IAB $. Ta có: $ AB.\overset\rightarrow { JI }+IA.\overset\rightarrow { JB }+IB.\overset\rightarrow { JA }=\overset\rightarrow { 0 } $. Suy ra: $ J\left ( { \frac { -90+12\sqrt[] { 55 } } { 5 };\,\frac { 35-6\sqrt[] { 55 } } { 5 } } \right ) $. Vậy đường tròn nội tiếp tam giác $ IAB $ có phương trình là $ \left ( { x+\frac { 90-12\sqrt[] { 55 } } { 5 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-\frac { 35-6\sqrt[] { 55 } } { 5 } } \right ) ^ { 2 } =\left ( { \frac { 30\sqrt[] { 11 }-44\sqrt[] { 5 } } { 5 } } \right ) ^ { 2 } $.