Chứng minh các định lí sau bằng phương pháp phản chứng: a) Nếu $a, b$ là hai số thực không âm thì $a+b\geq 2\sqrt{ab}$. b) Nếu $n$ là số tự nhiên thoả mãn $n^{2}$ chia hết cho 5 thì $n$ chia hết cho 5. c) Cho $a, b$ là các số nguyên. Nếu $ab$ lẻ thì $a$ và $b$ đều là số lẻ. d) Cho $a, b$ là các số thực dương. Nếu $a^{2}=b^{2}$ thì $a=b$. e) Nếu $x^{2}+y^{2}=1$ thì một trong hai số $x$ và $y$ nhỏ hơn 1. f) Nếu $x
eq -1$ và $y
eq -1$ thì $x+y+xy
eq -1$. g) Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. h) Nếu $a+b

Question

Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học a) Định lí là những mệnh đề đúng: Định lí thường được phát biểu dưới dạng "$\forall x\in X, P(x)\Rightarrow Q(x)$". Trong đó $P(x)$ và $Q(x)$ là các mệnh đề chứa biến, $X$ là một tập hợp nào đó. b) Phép chứng minh trực tiếp - Giả thiết rằng $x\in X$ và mệnh đề $P(x)$ đúng. - Dùng các suy luận và các kiến thức toán học đã biết để chỉ ra rằng mệnh đề $Q(x)$ đúng. c) Phương pháp chứng minh phản chứng - Giả sử tồn tại $x_0\in X$ sao cho $P(x_0)$ đúng và $Q(x_0)$ sai. - Dùng các suy luận và các kiến thức Toán học đã biết để chỉ ra mâu thuẫn. d) Điều kiện cần. Điều kiện đủ Cho định lí dạng "$\forall x\in X, P(x)\Rightarrow Q(x)$" (1). Ta có $P(x)$ được gọi là giả thiết của định lí, $Q(x)$ được gọi là kết luận của định lí. Ta còn nói - $P(x)$ là điều kiện đủ để có $Q(x)$. - $Q(x)$ là điều kiện cần để có $P(x)$. e) Định lí đảo. Điều kiện cần và đủ. Mệnh đề "$\forall x\in X, Q(x)\Rightarrow P(x)$" (2) được gọi là mệnh đề đảo của định lí (1), nếu mệnh đề (2) đúng thì (2) được gọi là định lí đảo và (1) được gọi là định lí thuận. Định lí thuận và đảo tạo thành định lí "$\forall x\in X, P(x)\Leftrightarrow Q(x)$". Ta nói "$P(x)$ là điều kiện cần và đủ để có $Q(x)$". Ta còn nói "$P(x)$ nếu và chỉ nếu $Q(x)$" hay "Điều kiện cần và đủ để có $P(x)$ là $Q(x)$". Chứng minh các định lí sau bằng phương pháp phản chứng: a) Nếu $a, b$ là hai số thực không âm thì $a+b\geq 2\sqrt{ab}$. b) Nếu $n$ là số tự nhiên thoả mãn $n^{2}$ chia hết cho 5 thì $n$ chia hết cho 5. c) Cho $a, b$ là các số nguyên. Nếu $ab$ lẻ thì $a$ và $b$ đều là số lẻ. d) Cho $a, b$ là các số thực dương. Nếu $a^{2}=b^{2}$ thì $a=b$. e) Nếu $x^{2}+y^{2}=1$ thì một trong hai số $x$ và $y$ nhỏ hơn 1. f) Nếu $x
eq -1$ và $y
eq -1$ thì $x+y+xy
eq -1$. g) Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. h) Nếu $a+b<2$ thì một trong hai số $a$ và $b$ nhỏ hơn 1. i) Cho $n$ là một số tự nhiên. Nếu $n^{3}$ chia hết cho 3 thì $n$ chia hết cho 3.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Giả sử $a+b<2\sqrt{ab}$. Khi đó $a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}<0$. Bất đẳng thức này sai. Vậy ta có mâu thuẫn. b) Giả sử $n$ không chia hết cho 5. Ta có $n=5k\pm 1$ hoặc $n=5k\pm 2$. Với $n=5k\pm 1$ thì $n^{2}=5\left(5k^{2}\pm 2k ight)+1$ không chia hết cho 5. Với $n=5k\pm 2$ thì $n^{2}=5\left(5k^{2}\pm 4k ight)+4$ không chia hết cho 5. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $n^{2}$ chia hết cho 5. c) Giả sử một trong hai số $a$ và $b$ là số chẵn. Khi đó $ab$ chẵn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $ab$ lẻ. d) Giả sử $a eq b$. Ta có $a+b>0$ nên $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) eq 0$. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $a^{2}=b^{2}$. e) Giả sử $x\geq 1$ và $y\geq 1$. Khi đó $x^{2}+y^{2}\geq 2>1$. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $x^{2}+y^{2}=1$. f) Giả sử $x+y+xy=-1$. Ta có $(x+1)(y+1)=x+y+xy+1=0$ nên một trong hai số $x$ và $y$ bằng $-1$. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $x eq -1$ và $y eq -1$. g) Giả sử hai đường thẳng cắt nhau. Khi đó tổng ba góc trong của tam giác tạo bởi hai đường thẳng với đường thẳng thứ ba lớn hơn $180^{\circ}$. Mệnh đề này sai. Vậy ta có mâu thuẫn. h) Giả sử $a\geq 1, b\geq 1$. Khi đó $a+b\geq 2$. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $a+b<2$. i) Giả sử $n$ không chia hết cho 3. Ta có $n=3k\pm 1$ nên $n^{3}=3\left(9k^{3}\pm 9k^{2}+3k ight)\pm 1$ không chia hết cho 3. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $n^{3}$ chia hết cho 3.

Bài tập nâng cao Mệnh đề · Bài 4