Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$ với $x\in \mathbb{R}$. Tìm $x$ để $P(x)$ là mệnh đề đúng. a) $P(x)$: "$|x-1|
eq |1-2x|$". b) $P(x)$: "$|x|+4x^{2}
eq 0$". c) $P(x)$: "$\left(x^{2}+x ight)^{4}+x^{2022}
eq 0$". d) $P(x)$: "$|2x+1|+|2x-1|
eq 0$".

Question

Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học a) Định lí là những mệnh đề đúng: Định lí thường được phát biểu dưới dạng "$\forall x\in X, P(x)\Rightarrow Q(x)$". Trong đó $P(x)$ và $Q(x)$ là các mệnh đề chứa biến, $X$ là một tập hợp nào đó. b) Phép chứng minh trực tiếp - Giả thiết rằng $x\in X$ và mệnh đề $P(x)$ đúng. - Dùng các suy luận và các kiến thức toán học đã biết để chỉ ra rằng mệnh đề $Q(x)$ đúng. c) Phương pháp chứng minh phản chứng - Giả sử tồn tại $x_0\in X$ sao cho $P(x_0)$ đúng và $Q(x_0)$ sai. - Dùng các suy luận và các kiến thức Toán học đã biết để chỉ ra mâu thuẫn. d) Điều kiện cần. Điều kiện đủ Cho định lí dạng "$\forall x\in X, P(x)\Rightarrow Q(x)$" (1). Ta có $P(x)$ được gọi là giả thiết của định lí, $Q(x)$ được gọi là kết luận của định lí. Ta còn nói - $P(x)$ là điều kiện đủ để có $Q(x)$. - $Q(x)$ là điều kiện cần để có $P(x)$. e) Định lí đảo. Điều kiện cần và đủ. Mệnh đề "$\forall x\in X, Q(x)\Rightarrow P(x)$" (2) được gọi là mệnh đề đảo của định lí (1), nếu mệnh đề (2) đúng thì (2) được gọi là định lí đảo và (1) được gọi là định lí thuận. Định lí thuận và đảo tạo thành định lí "$\forall x\in X, P(x)\Leftrightarrow Q(x)$". Ta nói "$P(x)$ là điều kiện cần và đủ để có $Q(x)$". Ta còn nói "$P(x)$ nếu và chỉ nếu $Q(x)$" hay "Điều kiện cần và đủ để có $P(x)$ là $Q(x)$". Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$ với $x\in \mathbb{R}$. Tìm $x$ để $P(x)$ là mệnh đề đúng. a) $P(x)$: "$|x-1|
eq |1-2x|$". b) $P(x)$: "$|x|+4x^{2}
eq 0$". c) $P(x)$: "$\left(x^{2}+xight)^{4}+x^{2022}
eq 0$". d) $P(x)$: "$|2x+1|+|2x-1|
eq 0$".

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Xét mệnh đề phủ định $\overline{P(x)}$: "$|x-1|=|1-2x|$" $|x-1|=|1-2x|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x-1=1-2x \ x-1=-1+2x \end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x=2 \ x=0 \end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{2}{3} \ x=0 \end{array} ight.$ Vậy $P(x)$: "$x
eq \frac{2}{3}$ và $x
eq 0$". b) Xét mệnh đề phủ định $\overline{P(x)}$: "$|x|+4x^{2}=0$" $|x|+4x^{2}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \ 4x^{2}=0 \end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \ x=0 \end{array} ight. \Leftrightarrow x=0.$ Vậy $P(x)$: "$x
eq 0$". c) Xét mệnh đề phủ định $\overline{P(x)}$: "$\left(x^{2}+xight)^{4}+x^{2022}=0$" $\left(x^{2}+xight)^{4}+x^{2022}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^{2}+x=0 \ x^{2022}=0 \end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 	ext{ hay } x=-1 \ x=0 \end{array} ight. \Leftrightarrow x=0.$ Vậy $P(x)$: "$x
eq 0$". d) $\overline{P(x)}$: "$|2x+1|+|2x-1|=0$" $|2x+1|+|2x-1|=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x+1=0 \ 2x-1=0 \end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-\frac{1}{2} \ x=\frac{1}{2} \end{array} ight.\Leftrightarrow x\in \emptyset$. Vậy $P(x)$: "$x\in \mathbb{R}$".

Bài tập nâng cao Mệnh đề · Bài 3