Bài tập nâng cao · Bài 1
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 1
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số $0,1,2,3,4,5,6,7$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$. Xác suất để chọn được số lớn hơn $2020$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Số phần tử của tập hợp $S$ là $n(S)=7.A_{7} ^{3}=1470$.
Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( { \Omega } \right)=C_{1470} ^{1}=1470$.
Gọi $A$ là biến cố để số chọn được lớn hơn $2020$.
Giả sử $n=abcd\in A$ ta có $n>2020$ nên có các trường hợp xảy ra như sau:
TH1: $a=2;b=0$ thì $c\in \left\{ \begin{array}{l} 3;4;5;6;7 \end{array} \right\}$ nên $c$ có $5$ cách chọn và $d$ có $5$ cách chọn.
Do đó trường hợp này có $1.1.5.5=25$ số.
TH2: $a=2;b\in \left\{ \begin{array}{l} 1;3;4;5;6;7 \end{array} \right\}$ thì $cd$ có $A_{6} ^{2}$ cách chọn và sắp xếp.
Do đó trường hợp này có $1.6.A_{6} ^{2}=180$ số.
TH3: $a\in \left\{ \begin{array}{l} 3;4;5;6;7 \end{array} \right\}$ thì $bcd$ có $A_{7} ^{3}$ cách chọn và sắp xếp.
Do đó trường hợp này có $5.A_{7} ^{3}=1050$ số.
Số phần tử của biến cố $A$ là $n(A)=25+180+1050=1255$.
Vậy xác suất cần tính là $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{1255}{1470}=\frac{251}{294}$.
Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( { \Omega } \right)=C_{1470} ^{1}=1470$.
Gọi $A$ là biến cố để số chọn được lớn hơn $2020$.
Giả sử $n=abcd\in A$ ta có $n>2020$ nên có các trường hợp xảy ra như sau:
TH1: $a=2;b=0$ thì $c\in \left\{ \begin{array}{l} 3;4;5;6;7 \end{array} \right\}$ nên $c$ có $5$ cách chọn và $d$ có $5$ cách chọn.
Do đó trường hợp này có $1.1.5.5=25$ số.
TH2: $a=2;b\in \left\{ \begin{array}{l} 1;3;4;5;6;7 \end{array} \right\}$ thì $cd$ có $A_{6} ^{2}$ cách chọn và sắp xếp.
Do đó trường hợp này có $1.6.A_{6} ^{2}=180$ số.
TH3: $a\in \left\{ \begin{array}{l} 3;4;5;6;7 \end{array} \right\}$ thì $bcd$ có $A_{7} ^{3}$ cách chọn và sắp xếp.
Do đó trường hợp này có $5.A_{7} ^{3}=1050$ số.
Số phần tử của biến cố $A$ là $n(A)=25+180+1050=1255$.
Vậy xác suất cần tính là $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{1255}{1470}=\frac{251}{294}$.