Cho bất phương trình $1 + \log_{5}\left(x^{2} + 1\right) \geq \log_{5}\left(mx^{2} + 4x + m + 6\right)$ với $m$ là tham số. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Lời giải a) Đúng. b) Với $m = 0$, bất phương trình trở thành: $1 + \log_{5}\left(x^{2} + 1\right) \geq \log_{5}(4x + 6)$. Điều kiện xác định: $\left\{\begin{array}{l}x^{2} + 1 > 0\\ 4x + 6 > 0\end{array}\right. \Leftrightarrow x > -\frac{3}{2}$. Vậy tập xác định của bất phương trình đã cho là $D = \left(-\frac{3}{2}; +\infty\right)$. c) Với $m = 0$, bất phương trình tương đương với: $$ \log_{5}\Big[5\left(x^{2} + 1\right)\Big] \geq \log_{5}(4x + 6) \Leftrightarrow 5x^{2} + 5 \geq 4x + 6 \Leftrightarrow 5x^{2} - 4x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x \geq 1\\ x \leq -\frac{1}{5}\end{array}\right. $$ Kết hợp điều kiện $x > -\frac{3}{2}$, ta được tập nghiệm $S = \left(-\frac{3}{2}; -\frac{1}{5}\right] \cup [1; +\infty)$. Do đó mệnh đề c sai. d) Bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi hệ sau đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$: $$ \left\{\begin{array}{l}mx^{2} + 4x + m + 6 > 0\\ 5\left(x^{2} + 1\right) \geq mx^{2} + 4x + m + 6\end{array}\right. $$ Điều kiện thứ nhất đúng với mọi $x$ khi $m > 0$ và $\Delta' = 4 - m(m+6) < 0 \Leftrightarrow m^{2} + 6m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > -3 + \sqrt{13}$ (do $m > 0$). Điều kiện thứ hai tương đương $(5-m)x^{2} - 4x - (m+1) \geq 0$ đúng với mọi $x$, cần $5 - m > 0$ và $\Delta' = 4 + (5-m)(m+1) \leq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4m - 9 \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 2 - \sqrt{13}$ (do $m < 5$). Vì $-3 + \sqrt{13} > 2 - \sqrt{13}$ nên hai điều kiện không thể đồng thời xảy ra, do đó không tồn tại giá trị nào của $m$ thỏa mãn, đặc biệt không có giá trị nguyên nào của $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.