Cho hai dãy số $ (u_{ n } ),(v_{ n } ) $ được xác định như sau $ u_{ 1 } =3,v_{ 1 } =2 $ và $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ n+1 } =u_{ n } ^{ 2 }+2v_{ n } ^{ 2 } \ v_{ n+1 } =2u_{ n } .v_{ n } \end{array} ight. $ với $ n≥2 $.

Question

Cho hai dãy số $ (u_{ n } ),(v_{ n } ) $ được xác định như sau $ u_{ 1 } =3,v_{ 1 } =2 $ và $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ n+1 } =u_{ n } ^{ 2 }+2v_{ n } ^{ 2 } \ v_{ n+1 } =2u_{ n } .v_{ n } \end{array} ight. $ với $ n≥2 $.

Beedemy · Accepted Answer

a. $ u_{ n } ^{ 2 }-2v_{ n } ^{ 2 }=1 $ với $ ∀n≥1 $ Đúng. b. $ u_{ n } -\sqrt[] { 2 }v_{ n } =\left ( { \sqrt[] { 2 }-1 } \right ) ^ { 2 ^ { n } } $ với $ ∀n≥1 $ Đúng. c. Công thức tổng quát của dãy $ (u_{ n } ) $ là $ u_{ n } =\frac { 1 } { 4 }\left[ \left ( { \sqrt[] { 2 }+1 } \right ) ^ { 2 ^ { n } } +\left ( { \sqrt[] { 2 }-1 } \right ) ^ { 2 ^ { n } } \right] $ Sai. d. Công thức tổng quát của dãy $ (v_{ n } ) $là $ v_{ n } =\frac { 1 } { 2 }\left[ \left ( { \sqrt[] { 2 }+1 } \right ) ^ { 2 ^ { n } } -\left ( { \sqrt[] { 2 }-1 } \right ) ^ { 2 ^ { n } } \right] $ Sai. Lời giải: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai a) b) Ta chứng minh bài toán theo quy nạp a) Chứng minh: $ u_{ n } ^{ 2 }-2v_{ n } ^{ 2 }=1 $ (1) $ • $ Ta có $ u_{ 1 } ^{ 2 }-2v_{ 1 } ^{ 2 }=3 ^ { 2 } -2.2 ^ { 2 } =1 $ nên (1) đúng với $ n=1 $ $ • $ Giả sử $ u_{ k } ^{ 2 }-2v_{ k } ^{ 2 }=1 $, khi đó ta có: $ u_{ k+1 } ^{ 2 }-2v_{ k+1 } ^{ 2 }=\left ( { u_{ k } ^{ 2 }+2v_{ k } ^{ 2 } } \right ) ^ { 2 } -2\left ( { 2u_{ k } v_{ k } } \right )=\left ( { u_{ k } ^{ 2 }-2v_{ k } ^{ 2 } } \right ) ^ { 2 } =1 $ Từ đó suy ra (1) đúng với $ ∀n≥1 $. b) Chứng minh $ u_{ n } -\sqrt[] { 2 }v_{ n } =\left ( { \sqrt[] { 2 }-1 } \right ) ^ { 2 ^ { n } } $ (2) Ta có: $ u_{ n } -\sqrt[] { 2 }v_{ n } =u_{ n-1 } ^{ 2 }+2v_{ n-1 } ^{ 2 }-2\sqrt[] { 2 }u_{ n-1 } v_{ n-1 } =\left ( { u_{ n-1 } -\sqrt[] { 2 }v_{ n-1 } } \right ) ^ { 2 } $ $ • $ Ta có: $ u_{ 1 } -\sqrt[] { 2 }v_{ 1 } =3-2\sqrt[] { 2 }=\left ( { \sqrt[] { 2 }-1 } \right ) ^ { 2 } $ nên (2) đúng với $ n=1 $ $ • $ Giả sử

Cho hai dãy số $ (u_{ n } ),(v_{ n } ) $ được xác định như sau $ u_{ 1 } =3,v_{ 1 } =2 $ và $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ n+1 } =u_{ n } ^{ 2 }+2v_{ n } ^{ 2 } \\ v_{ n+1 } =2u_{ n } .v_{ n } \end{array} \right. $ với $ n≥2 $.

Cùng dạng: Tính giá trị số hạng và số thứ tự khi biết công thức tổng quát